Statistiques complètes pour

Je voudrais savoir si la statistique est complète pour dans un paramètre .

$$T(X_1,\ldots,X_n)=\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X}_n)^2}{n-1}$$ $\sigma^2$$N(\mu,\sigma^2)$

Cela dépend-il de savoir si est déjà connu ou non? Si est complet pour , alors par Lehmann-Scheffé c'est UMVUE . Mais si était connu, nous aurions pu considérer dont la variance est égale à la Cramer-Rao a lié et est strictement inférieur à , donc ne peut pas être UMVUE.$\mu$$T$$\sigma^2$$\mu$

$$W(X_1,\ldots,X_n)=\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2}{n},$$ $2\sigma^4/n$$2\sigma^4/(n-1)=\text{Var}[T]$$T$

Je pense avoir résolu ma propre question. Les commentaires sur cette réponse et les nouvelles réponses sont les bienvenus.

Si $x_1,\ldots,x_n$ sont des observations dans un $N(\mu,\sigma^2)$ population et $\mu$est inconnu , alors

$$f(x_1,\ldots,x_n|\mu,\sigma^2)=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\right)^ne^{-\frac{n\mu^2}{2\sigma^2}}e^{\frac{\mu}{\sigma^2}\sum_{i=1}^nx_i-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n x_i^2}$$ (cela montre que la famille normale est une famille exponentielle). Comme l'image de la carte $$(\mu,\sigma^2)\in \mathbb{R}\times\mathbb{R}^+\mapsto (\frac{\mu}{\sigma^2},-\frac{1}{2\sigma^2})$$ contient un ensemble ouvert de $\mathbb{R}^2$, par un théorème (par exemple, voir page 6 ici ), la statistique$U=(\sum_{i=1}^n X_i,\sum_{i=1}^n X_i^2)$ est suffisant et complet pour $(\mu,\sigma^2)$. Comme$T$ est fonction de $U$ et est centré pour $\sigma^2$, par Lehmann-Scheffé $T$ est UMVUE pour $\sigma^2$.

Maintenant si $\mu=\mu_0$est connu ,$\mu$ n'appartient plus à l'espace paramétrique, donc la "nouvelle" fonction de densité est

$$f(x_1,\ldots,x_n|\sigma^2)=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\right)^ne^{-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n(x_i-\mu_0)^2}$$ (nous avons une nouvelle famille exponentielle). Comme l'image de la carte $$\sigma^2\in\mathbb{R}^+\mapsto -\frac{1}{2\sigma^2}$$ contient un sous-ensemble ouvert de $\mathbb{R}$, notre statistique $W$ est suffisant et complet pour $\sigma^2$. Puisqu'il est en plus centré,$W$ est UMVUE pour $\sigma^2$ par Lehmann-Scheffé.

Dans votre statistique $T(X_{1},\ldots,X_{n})$, $\bar{X}$ est utilisé comme estimation de $\mu$. Si vous connaissez la vraie valeur de$\mu$, puis l'estimateur de la variance $W(X_{1},\ldots,X_{n})$ est préférable. $W$ est sans biais et a une variance inférieure à $T$. Ainsi, dans le cadre où$\mu$ est connu, utilisez $W$.