Quel est le problème avec cette résolution proposée pour le paradoxe de Saint-Pétersbourg?

Nous avons un jeu où votre paiement est de où est le nombre de fois que vous lancez une pièce pour atterrir sur des têtes (si votre premier lancer est une tête, alors ). Le paiement attendu est alors:$2^k$$k$$k=1$

Combien devrais-je payer pour jouer à ce jeu?

Eh bien, nous savons de la distribution géométrique le nombre attendu de pièces que je vais retourner jusqu'à obtenir une tête est:

Je paierai donc moins de avec :$2^k$$k=2$

soit <4 dollars

https://en.wikipedia.org/wiki/St._Petersburg_paradox pour référence

• Laisser $K$ être une variable aléatoire.

  • Dans votre problème, $K$ c'est le nombre de fois que vous retournez avant d'avoir des têtes.

• Laisser $f(k)$ être une fonction de gain.

  • Dans votre problème $f(k) = 2^k$.

• Laisser $f(K)$ être la récompense

Vous dites qu'une évaluation raisonnable du pari $f(K)$ est donné par $f(\mathrm{E[}K])$. Il s'agit d'une heuristique entièrement ad hoc, plutôt sans principes. Peut-être bien dans certaines situations (par exemple, où$K$ est petit et $f$ presque linéaire), mais il est facile de construire un exemple où il suggère quelque chose de non sensible.

Exemple où votre système n'a aucun sens

Laisser $K$ être un tirage de la distribution normale $\mathcal{N}(0,10000000000000)$ et que la fonction de gain soit $f(K) = K^2$. Votre système dit que je ne devrais pas payer plus$0$ pour ce pari parce que $f(\mathrm{E}[K]) = 0^2 = 0$. Mais ne devriez-vous pas attribuer une valeur positive à ce pari?! Il y a une probabilité de 100% que le gain soit supérieur à zéro!

Une résolution plus classique du paradoxe de Saint-Pétersbourg

Une approche consiste à ajouter l'aversion au risque. Si vous êtes suffisamment opposé au risque, ce que vous êtes prêt à payer pour jouer à ce jeu d'espérance infinie sera fini. Si vous acceptez les axiomes de Von Neumann-Morgernstern , alors l' équivalent de certitude de jouer au jeu est donné par$z$ où:

et où $w$ est votre richesse et $u$est une fonction concave (en jargon, une fonction utilitaire de Bernoulli) qui capture votre niveau d'aversion au risque. Si$u$ est suffisamment concave, la valorisation $2^K$ sera fini.

Une fonction utilitaire Bernoulli avec de belles propriétés se révèle être $u(x) = \log(x)$. Maximiser l' utilité attendue où la fonction d'utilité de Bernoulli est le journal de votre richesse équivaut à maximiser le taux de croissance attendu de votre richesse. Pour les paris binaires simples, cela vous donne les paris Kelly Criterion .

Un autre point important est que l'approche d'aversion au risque conduit à différents équivalents de certitude selon le côté du pari dans lequel vous vous trouvez.

Il n'y a rien de mal à cette résolution proposée.

Dans le paradoxe d'origine, nous regardons la valeur attendue (moyenne) du profit qui est infini et donc vous devez miser un montant infini. Cependant, après le premier lancer de la pièce, il y a 50% de chances que vous ayez perdu de l'argent et c'est pourquoi les gens ne l'aiment pas. Votre résolution ne fait que formaliser cela, au lieu de regarder le profit moyen que vous regardez le profit médian. Contrairement au profit moyen, le profit médian est fini et le paradoxe disparaît.

Si je comprends bien, votre analyse est la suivante:

1. Calculez le nombre prévu de lancers de pièces nécessaires pour obtenir une tête.
2. Calculez le paiement pour le résultat où vous obtenez exactement le nombre attendu.
3. Évaluez le jeu égal à ce paiement.

... OK, modifions un peu ce jeu. Tout comme la version originale, je lancerai une pièce et continuerai de lancer jusqu'à ce que je lance des têtes. Seuls les paiements ont changé:

• Si je retourne la tête au deuxième lancer, vous obtenez quatre dollars.
• À tout autre résultat, vous perdez tout ce que vous possédez et devez venir travailler pour moi pour toujours, gratuitement.

Combien de pièces comptons-nous retourner avant d'avoir une tête? 2, exactement comme avant.

Quel est le gain pour le résultat où nous lançons deux pièces pour obtenir une tête? 4,00 $, exactement comme avant.

Combien seriez-vous prêt à payer pour le «privilège» de payer ce jeu qui a 75% de chances de vous mettre en faillite et 25% de chances de retourner 4,00 $?

Je soupçonne que la réponse n'est pas "jusqu'à quatre dollars, exactement la même qu'avant". Ce qui signifie qu'il y a un trou dans votre logique.

Dans une perspective plus large, les gains attendus ne sont pas nécessairement suffisamment d'informations pour répondre à ce type de question; cela dépend généralement d'un contexte supplémentaire. Est-ce une opportunité unique ou vous attendez-vous à ce que ce pari vous soit proposé plusieurs fois? Combien d'argent avez-vous sous la main? Et combien d'argent avez-vous besoin pour être heureux?

Par exemple, si ma richesse totale est de 100 $ mais que j'ai besoin de toute urgence d'un million de dollars pour une opération de sauvetage, je serais prêt à payer tout mon argent pour un seul coup au pari de Saint-Pétersbourg. Cela me donne seulement 1/2 ^ 19 chance de gagner l'argent dont j'ai besoin, mais si je ne joue pas, je n'ai aucune chance.

D'un autre côté, si ma richesse totale est de 1 000 000 $ et que j'ai besoin exactement d'un million de dollars pour cette opération, le plus que je serais prêt à payer pour un seul match est de deux dollars (que je suis sûr de récupérer) . Rien de plus, et j'ai une demi-chance de finir en deçà du million de dollars dont j'ai besoin pour me sauver la vie.

Si je m'attends à avoir beaucoup de chances de jouer à de tels jeux, alors je veux probablement choisir une stratégie qui me donne une forte probabilité d'avoir beaucoup d'argent à la fin de tous ces jeux. Par exemple:

Le jeu A est garanti pour augmenter ma richesse de 10% à chaque fois que je le joue. (Gain attendu: + 10% de ma richesse actuelle.) Le jeu B a 90% de chances de doubler ma richesse et 10% de chances de me mettre en faillite. (Gain escompté: + 70% de ma richesse actuelle.) [Modifier: en fait + 80% parce que j'échoue à l'arithmétique de base, mais l'argument tient toujours.]

Si je joue 100 itérations du jeu A, je suis certain de multiplier ma richesse par 13 780 fois.

Si je joue 100 itérations du jeu B, j'ai 0,0027% de chances de devenir incroyablement riche (environ 10 ^ 30 x ce que j'ai commencé) ... et 99,73% de chances de faire faillite. Même si la moyenne est meilleure que pour le match A, ce n'est pas une bonne option.

Pour ce type de jeu très itéré, plutôt que d'essayer de maximiser mes gains attendus dans chaque jeu, je ferais mieux d'essayer de maximiser la valeur attendue de ln (richesse totale après match / richesse totale avant match). Cela garantit une croissance à long terme sans être anéanti.

Si les enjeux pour chaque jeu sont faibles par rapport à ma richesse totale, cela équivaut à peu près à maximiser les gains attendus dans chaque jeu.

Donc, si vous jouez à beaucoup de jeux et ne risquez jamais une grande partie de votre richesse actuelle, la valeur attendue du pari vous dit tout ce que vous devez savoir. Dans à peu près n'importe quelle autre situation, vous devez également penser à d'autres choses.