Est

Est-ce que ? Et qu'en est-il de Je suis confus par les relations. Cela semble intuitivement être le cas. S'il est correct, comment puis-je le prouver mathématiquement. J'ai cherché sur ce site et ailleurs ...$E[E(X|Y)|Z] =E[X|Y,Z]$$E[E(X|Y=y)|Z=z] =E[X|Y=y,Z=z]$

Ces deux attentes conditionnelles diffèrent en général:

$$\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z] \ne\mathbb{E}[X|Y,Z]$$

En fait, à proprement parler, ils ne vivent même pas dans le même espace fonctionnel que le premier est fonction de , mesurable par rapport à , l' algèbre induite par , tandis que la seconde est une fonction de , donc mesurable par rapport à , l' algèbre induite par ,$Z$$\sigma(Z)$$\sigma$$Z$$(Y,Z)$$\sigma(Y,Z)$$\sigma$$(Y,Z)$

À titre de contre-exemple, considérez le paramètre lorsque

1. $X$ et sont indépendants$Y$
2. $X$ et sont dépendants, avec$Z$$\mathbb{E}[X|Z]\ne \mathbb{E}[X]$

Ensuite, en raison de l'indépendance entre et , et donc$X$$Y$$\mathbb{E}(X|Y)=\mathbb{E}[X]$

Une égalité valide est à la place qui s'applique à toutes les relations de dépendance entre les trois variables aléatoires.

Notations: la différence entre les notations et est-ce$\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z]$$\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y=y)|Z=z]$

1. $\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z]$ est une variable aléatoire, transformée de la variable aléatoire (et non de la variable aléatoire puisque Y est également conditionnée à );$Z$$Y$$Y$$Z$
2. $\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y=y)|Z=z]$ est fonction apparemment de et , mais en fait seulement de (comme expliqué ci-dessous) qui n'a pas de signification claire de un point de vue probabiliste . En effet, pour une valeur donnée , est une constante pour laquelle prendre une attente conditionnelle conditionnelle à la réalisation n'a pas de sens car elle renvoie également . Par exemple, si dépend à la fois de et de comme variable aléatoire, pour une réalisation donnée de$y$$z$$y$$y$$\mathbb{E}(X|Y=y)$$Z=z$$\mathbb{E}(X|Y=y)$$X$$Y$$X$$y$$Y$et de , est une constante qui diffère généralement de et de . Mais n'est pas une réalisation de la variable aléatoire . La réalisation correcte est$Z$$z$$\mathbb{E}(X|Y=y)$$\mathbb{E}(X)$$\mathbb{E}(X|Y=y,Z=z)$$\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y=y)|Z=z]$$\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z]$$\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z=z]$