Comment gérer mentalement le paradoxe de Borel?

Je me sens un peu mal à l'aise avec la façon dont j'ai mentalement traité le paradoxe de Borel et d'autres «paradoxes» associés traitant de la probabilité conditionnelle. Pour ceux qui lisent ceci et qui ne le connaissent pas, consultez ce lien . Ma réponse mentale jusqu'à présent a été principalement de l'ignorer parce que personne ne semble en parler, mais je pense que je devrais rectifier cela.

Nous savons que ce paradoxe existe, et pourtant il semble que dans la pratique (comme un exemple extrême, l'analyse bayésienne) nous sommes parfaitement d'accord avec le conditionnement sur des événements de mesure ; si X est mes données, nous conditionnons à X = x tout le temps, même s'il s'agit d'un événement de mesure 0 lorsque X est continu. Et nous ne faisons certainement aucun effort pour construire une séquence d'événements convergeant vers l'événement que nous avons observé pour résoudre le paradoxe, du moins pas explicitement.$0$$X$$X = x$$0$$X$

Je pense que c'est correct parce que nous avons essentiellement fixé la variable aléatoire (en principe) avant l'expérience, et donc nous conditionnons sur σ ( X ) . Autrement dit, σ ( X ) est l' algèbre σ naturelle à conditionner parce que les informations X = x viennent à être utilisées via X - si elles nous étaient parvenues d'une autre manière, nous conditionnerions une algèbre σ différente . Le paradoxe de Borel se pose parce que (je suppose) il n'est pas évident de savoir sur quelle algèbre σ appropriée à conditionner, mais le bayésien a spécifié $X$$\sigma(X)$$\sigma(X)$$\sigma$$X = x$$X$$\sigma$$\sigma$ . Parce que nous précisons a priori que l'information X = x nous est parvenueen mesurant X, nous sommes en clair. Une fois que nous avons spécifié l'algèbre σ , tout va bien; nous construisons notre attente conditionnelle en utilisant Radon-Nikodym et tout est unique jusqu'à des ensembles nuls.$\sigma(X)$$X = x$$X$$\sigma$

Est-ce essentiellement vrai, ou suis-je loin? Si je suis loin, quelle est la justification pour se comporter comme nous le faisons? [Compte tenu de la nature des questions et réponses de ce site, considérez cela comme ma question.] Lorsque j'ai pris ma probabilité théorique de mesure, pour une raison que je ne comprends pas, nous n'avons même jamais touché à l'attente conditionnelle. En conséquence, je crains que mes idées soient très confuses.

$\{X=x\}$$x$$x$que nous observerons à la fin. La distribution conditionnelle est définie de façon unique presque partout et donc presque sûrement par rapport à notre observation. C'est aussi le sens de la (grande) citation d'A. Kolmogorov dans l'entrée wikipedia.

Un point dans l'analyse bayésienne où les subtilités théoriques de la mesure peuvent devenir un paradoxe est la représentation de Savage-Dickey du facteur Bayes, car elle dépend d'une version spécifique de la densité antérieure (comme discuté dans notre article sur le sujet ...)