Valeur attendue du rapport des variables aléatoires corrélées?

Pour les variables aléatoires indépendantes et , existe-t-il une expression de forme fermée pour$\alpha$$\beta$

$\mathbb E \left[ \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} \right]$

en termes de valeurs et de variances attendues de et ? Sinon, y a-t-il une bonne limite inférieure à cette attente?$\alpha$$\beta$

Mise à jour: je peux aussi mentionner que et . Je peux contrôler la variance sur et , et je pense à un paramètre où les variances de et sont assez petites par rapport à . Peut-être que leurs deux écarts-types sont inférieurs à 0,3.$\mathbb E[\alpha] = 1$$\mathbb E[\beta] = 0$$\alpha$$\beta$$\alpha$$\beta$$\mathbb E[\alpha]$

J'ai pensé à une borne inférieure, bien que je ne pense pas que ce soit très serré. Je choisis juste une valeur arbitraire inférieure à la moyenne de$\alpha$ et une autre valeur arbitraire autour de la moyenne de $\beta^2$. Étant donné que l'espérance est d'une variable aléatoire non négative, et parce que$\alpha$ et $\beta$ sont indépendants,

$\mathbb E \left[ \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} \right] \ge \frac{1}{\sqrt{2}}\mathbb P(\alpha \ge \frac{1}{2}) \mathbb P(\beta^2 \le\frac{1}{4})$.

Par l'inégalité de Chebyshev,

$\mathbb P(\alpha \ge \frac{1}{2}) = \mathbb P(\alpha - 1 \ge -\frac{1}{2}) \ge \mathbb P(|\alpha - 1| \le \frac{1}{2}) = 1 - \mathbb P(|\alpha - 1| \ge \frac{1}{2}) \ge 1 - 4\mathrm{var}(\alpha)$

Par l'inégalité de Markov,

$\mathbb P(\beta^2 \le\frac{1}{4}) = 1 - \mathbb P(\beta^2 \ge\frac{1}{4}) \ge 1 - 4 \mathbb E[\beta^2] = 1 - 4\mathrm{var}(\beta)$

Donc,

$\mathbb E \left[ \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} \right] \ge \frac{1}{\sqrt{2}} (1 - 4 * 0.3^2) (1 - 4 * 0.3^2) > 0.28$

Est-ce une façon plus standard / systématique de faire ce que je fais ici, qui se resserre?