Comment la valeur attendue est-elle liée à la moyenne, la médiane, etc. dans une distribution non normale?

Comment la valeur attendue d'une variable aléatoire continue est-elle liée à sa moyenne arithmétique, sa médiane, etc. dans une distribution non normale (par exemple, skew-normal)? Je suis intéressé par toutes les distributions communes / intéressantes (par exemple, les distributions log-normales, simples bi / multimodales, tout ce qui est bizarre et merveilleux).

Je recherche principalement des réponses qualitatives, mais toutes les réponses quantitatives ou formelles sont également les bienvenues. J'aimerais particulièrement voir des représentations visuelles qui le rendent plus clair.

(partiellement converti à partir de mon commentaire maintenant supprimé ci-dessus)

La valeur attendue et la moyenne arithmétique sont exactement la même chose. La médiane est liée à la moyenne de manière non triviale, mais vous pouvez dire quelques choses sur leur relation:

• quand une distribution est symétrique, la moyenne et la médiane sont les mêmes

• lorsqu'une distribution est biaisée négativement, la médiane est généralement supérieure à la moyenne

• lorsqu'une distribution est faussée positivement, la médiane est généralement inférieure à la moyenne

Il existe une belle relation entre l'harmonique, la géométrie et la moyenne arithmétique d'une variable aléatoire log-normalement distribuée . Laisser$X \sim \mathcal{LN}\left( \mu,\sigma^2 \right)$

• $\mathrm{HM}(X) = \mathrm{e}^{\mu - \frac{1}{2}\sigma^2}$ (moyenne harmonique),
• $\mathrm{GM}(X) = \mathrm{e}^{\mu}$ (moyenne géométrique),
• $\mathrm{AM}(X) = \mathrm{e}^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2}$ (moyenne arithmétique).

Il n'est pas difficile de voir que le produit de la moyenne harmonique et arithmétique donne le carré de la moyenne géométrique, c'est-à-dire

$$\mathrm{HM}(X) \cdot \mathrm{AM}(X) = \mathrm{GM}^2(X).$$

Puisque toutes les valeurs sont positives, nous pouvons prendre la racine carrée et trouver que la moyenne géométrique de est la moyenne géométrique de la moyenne harmonique de et la moyenne arithmétique deX $X$$X$$X$ , c'est-à-dire

$$\mathrm{GM}(X) = \sqrt{ \mathrm{HM}(X) \cdot \mathrm{AM}(X) }.$$

De plus, l'inégalité bien connue HM-GM-AM

$$\mathrm{HM}(X) \leq \mathrm{GM}(X) \leq \mathrm{AM}(X)$$

peut être exprimé comme

$$\mathrm{HM}(X) \cdot \sqrt{\mathrm{GVar}(X)} = \mathrm{GM}(X) = \dfrac{\mathrm{AM}(X)}{\sqrt{\mathrm{GVar}(X)}},$$

où est la variance géométrique.$\mathrm{GVar}(X) = \mathrm{e}^{\sigma^2}$

Par souci d'exhaustivité, il existe également des distributions pour lesquelles la moyenne n'est pas bien définie. Un exemple classique est la distribution de Cauchy ( cette réponse explique pourquoi). Un autre exemple important est la distribution de Pareto avec un exposant inférieur à 2.

Bien qu'il soit correct que la moyenne mathématique et la valeur d'attente soient définies de manière identique, pour une distribution asymétrique, cette convention de dénomination devient trompeuse.

Imaginez que vous demandez à un ami les prix des logements dans sa ville parce que vous l'aimez vraiment là-bas et pensez réellement à déménager dans cette ville.

Si la distribution des prix du logement était unimodale et symétrique, alors votre ami peut vous dire le prix moyen des maisons et vous pouvez en effet vous attendre à trouver la plupart des maisons sur le marché autour de cette valeur moyenne .

Cependant, si la distribution des prix des logements est unimodale et asymétrique, par exemple asymétrique à droite avec la plupart des maisons dans la fourchette de prix inférieure à gauche et seulement quelques maisons exorbitantes à droite, alors la moyenne sera "asymétrique" à des prix élevés sur la droite.

Pour cette distribution unimodale et asymétrique du prix des maisons, vous pouvez vous attendre à trouver la plupart des maisons sur le marché autour de la médiane .