Distribution conditionnelle de la variable aléatoire uniforme étant donné la statistique de l'Ordre

J'ai la question suivante sous la main:

Supposons que sont des variables aléatoires iid suivant Unif . quelle est la distribution conditionnelle de étant donné ?$U,V$$(0,1)$$U$$Z:=\max(U,V)$

J'ai essayé d'écrire $Z=\Bbb{I}\cdot V+(1-\Bbb{I})\cdot U$ où $\Bbb{I}=\begin{cases}1&U<V\\0&U>V\end{cases}$

Mais je ne vais nulle part.

Une photo pourrait aider. Des distributions uniformes indépendantes sur l'intervalle peuvent être considérées comme une distribution uniforme sur le carré unitaire . Les événements sont des régions du carré et leurs probabilités sont leurs zones.$[0,1]$$I^2 = [0,1]\times [0,1]$

Soit toute valeur possible de . L'ensemble des coordonnées où forme les bords supérieur et droit d'un carré de côté . Soit un petit nombre positif. L'ensemble des coordonnées dont le maximum se situe entre et forme un épaississement étroit de ce carré, comme ombré sur la figure. Son aire est la différence des aires de deux carrés, l'un de côté et l'autre de côté , d'où$z$$\max(U,V)$$(U,V)$$\max(U,V)=z$$z$$dz$$(U,V)$$z$$z+dz$$z+dz$$z$

$$\Pr(z \le Z \le z+dz) = (z+dz)^2 - z^2 = 2z\,dz + (dz)^2.\tag{1}$$

Soit toute valeur possible de : elle est marquée par une ligne pointillée verticale sur les figures. $u$$U$

Le panneau de gauche montre un cas où : la chance que soit l'aire à gauche de cette ligne (égale à ); mais l'événement où et se situe entre et n'est que la zone ombrée brune. C'est un rectangle, donc sa superficie est sa largeur fois sa hauteur . Donc,$u \le z$$U\le u$$u$$U\le u$ $Z$$z$$z+dz$$u$$dz$

$$\Pr(U \le u, z \le Z \le z+dz) = u\,dz.\tag{2}$$

Le panneau de droite montre un cas où . Maintenant, la chance que et compose de deux rectangles. Celui du haut a une base et une hauteur ; celui de droite a une base et une hauteur . Donc$z \lt u \le z+dz$$U \le u$$z \lt Z \le z+dz$$u$$dz$$(u-z)$$z+dz$

$$\Pr(U \le u, z \le Z \le z+dz) = u\, dz + (u-z)(z+dz).\tag{3}$$

Par définition, les probabilités conditionnelles sont ces chances divisées par la chance totale que , donnée en ci-dessus. Divisez et par cette valeur. Laisser être infinitésimal et conserver la partie standard du résultat donne les chances conditionnelles à . Ainsi, lorsque ,$z \le Z \le z+dz$$(1)$$(2)$$(3)$$dz$$Z=z$$0 \le u \le z$

$$\Pr(U \le u\,|\, Z=z) = \frac{u\,dz}{2z\,dz + (dz)^2} = \frac{u}{2z + dz} \approx \frac{u}{2z}.$$

Lorsque , écrivez pour et calculez$z \lt u \le z+dz$$u = z + \lambda dz$$0 \lt \lambda \le 1$

$$\Pr(U \le u|Z=z) = \frac{u\, dz + (u-z)(z+dz)}{2z\,dz + (dz)^2} = \frac{(z + \lambda dz)dz + (\lambda dz)(z+dz)}{2z\,dz+(dz)^2}\approx\frac{1+\lambda}{2}.$$

Enfin, pour , la zone brune dans le panneau de droite a augmenté pour égaler la zone grise, d'où leur rapport est .$u \gt z+dz$$1$

Ces résultats montrent que la probabilité conditionnelle croît linéairement de à lorsque croît de à , puis monte linéairement de à dans l'intervalle infinitésimal entre et , reste ensuite à pour tous les grands . Voici un graphique:$0$$z/(2z)=1/2$$u$$0$$z$$1/2$$1$$z$$z+dz$$1$$u$

Parce que est infinitésimal, il n'est plus possible de distinguer visuellement de : l'intrigue passe d'une hauteur de à .$dz$$z$$z+dz$$1/2$$1$

En rassemblant ce qui précède dans une seule formule à appliquer à tout pour lequel , nous pourrions écrire la fonction de distribution conditionnelle comme$z$$0 \lt z \le 1$

$$F_{U|Z=z}(u) = \left\{\begin{array}{ll} 0 & u \le 0 \\ \frac{u}{2z} & 0 \lt u\le z \\ 1 & u \gt z. \end{array} \right.$$

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C'est une réponse complète et rigoureuse. Le saut montre qu'une fonction de densité de probabilité ne décrira pas adéquatement la distribution conditionnelle à la valeur . En tout autre point, cependant, il existe une densité . Il est égal à pour , pour (la dérivée de par rapport à ), et pour . Vous pouvez utiliser une "fonction généralisée" pour écrire ceci sous une forme semblable à la densité. Soit la "densité généralisée" donnant un saut de magnitude$U=z$$f_{U|Z=z}(u)$$0$$u\le 0$$1/(2z)$$0 \le u \lt z$$u/(2z)$$u$$0$$u \gt z$$\delta_z$$1$en : c'est-à-dire la "densité" d'un atome de probabilité unitaire situé en . La densité généralisée en peut alors être écrite pour exprimer le fait qu'une probabilité de est concentrée en . Dans son intégralité, nous pourrions écrire$z$$z$$z$$\frac{1}{2}\delta_z$$1/2$$z$

$$f_{U|Z=z}(u) = \left\{\begin{array}{ll} 0 & u \le 0 \\ \frac{1}{2z} & 0 \lt u\lt z \\ \frac{1}{2}\delta_z(u) & u=z \\ 0 & u \gt z. \end{array} \right.$$

Considérons d'abord la distribution du maximum conditionnelle à . Le maximum devient égal à dans le cas où avec une probabilité conditionnelle . Sinon, prend un peu plus grande que la valeur égale à . La distribution conditionnelle globale sera donc un mélange entre une masse ponctuelle à (de taille u) et une densité uniforme sur (intégrant à ). Représentant la masse ponctuelle par la fonction delta de Dirac, la fonction de densité de probabilité généralisée (gpdf) de cette distribution conditionnelle est $Z$$U=u$$Z$$u$$V<u$$u$$Z$$u$$V$$u$$(u,1)$$1-u$

$$f_{Z|U=u}(z) = u\delta(z-u) + \begin{cases} 1 & \text{for }u<z<1 \\ 0 &\text{otherwise}. \end{cases}$$ Le gpdf conjoint de et est alors Le pdf du maximum est . Par conséquent, le gpdf conditionnel de étant donné le maximum devient $Z$$U$ $$\begin{align} f_{Z,U}(z,u) &= f_{Z|U=u}(z)f_U(u) \\ &= u\delta(z-u) + \begin{cases} 1 & \text{for }0<u<z<1 \\ 0 &\text{otherwise}. \end{cases} \end{align}$$ $f_Z(z)=2z$$U$$Z$ $$\begin{align} f_{U|Z=z}(u) &= \frac{f_{Z,U}(z,u)}{f_Z(z)} \\ &= \frac12\delta(z-u) + \begin{cases} \frac1{2z} & \text{for }0<u<z \\ 0 &\text{otherwise}, \end{cases} \end{align}$$ $z$avec une probabilité 1/2 et une densité uniforme sur intégrant à 1/2.$(0,z)$