Combinaison linéaire de deux variables aléatoires normales multivariées dépendantes

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Supposons que nous ayons deux vecteurs de variables aléatoires, les deux sont normaux, c'est-à-dire et Y N ( μ Y , Σ Y ) . Nous nous intéressons à la distribution de leur combinaison linéaire Z = A X + B Y + C , où A et B sont des matrices, C est un vecteur. Si X et Y sont indépendants, Z NXN(μX,ΣX)YN(μY,ΣY)Z=AX+BY+CABCXY . La question est dans le cas dépendant, en supposant que nous connaissons la corrélation de n'importe quelle paire ( X i , Y i ) . Je vous remercie.ZN(AμX+BμY+C,AΣXAT+BΣYBT)(Xi,Yi)

Meilleurs voeux, Ivan

Ivan
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Réponses:

8

Dans ce cas, vous devez écrire (avec des notations, espérons-le, claires) ( édité: en supposant une normalité conjointe de ( X , Y ) ) Puis A X + B Y = ( A B ) ( X Y ) et A X + B Y + C N

(XY)N[(μXμY),ΣX,Y]
(X,Y)
AX+BY=(AB)(XY)
soit AX+BY+C N [ A μ X + B μ Y + C , A Σ X X A T + B Σ T X
AX+BY+CN[(AB)(μXμY)+C,(AB)ΣX,Y(ATBT)]
AX+BY+CN[AμX+BμY+C,AΣXXAT+BΣXYTAT+AΣXYBT+BΣYYBT]
Xi'an
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3
XY
2
BΣXYTAT+AΣXYBT2AΣXYBT
BΣXYTAT+AΣXYBT=(AΣXYBT)T+AΣXYBT
ΣXY(i,j)cov(Xi,Yj)(j,i)cov(Xj,Yi)
1
@DilipSarwate: (+1) vous avez raison, dans le cas général, il n'y a aucune raison pour que ces deux termes soient égaux.
Xi'an
3

XYΣXYW=(XT,YT)TZW

Z=(A,B)W+C

AΣXYBT+BΣXYTAT

probabilitéislogique
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Merci d'avoir signalé ce problème, en fait, je n'y ai même pas pensé, mais il semble que les variables soient en effet, dans mon cas, considérées comme distribuées normalement conjointement, même si leurs composants sont corrélés.
Ivan
XYcov(Xi,Yj)i,jW=(XT,YT)T. Toutes les deux variables aléatoires avec des écarts finis ont une covariance. La covariance n'est pas définie uniquement pour des variables aléatoires normales ou conjointement normales.
Dilip Sarwate
aTXa
1
XN(μX,ΣX)YN(μY,ΣY)XY(Xi,Yi)XiYiXN(μX,ΣX)XiYi
@Ivan Voir la discussion suite à cette question
Dilip Sarwate