Loi de l'expecation totale / règle de la tour: Pourquoi les deux variables aléatoires doivent-elles provenir du même espace de probabilité?

Je cite (soulignement le mien) de la définition de wikipedia :

La proposition de la théorie des probabilités connue sous le nom de loi de l'espérance totale, ..., stipule que si X est une variable aléatoire intégrable (c'est-à-dire une variable aléatoire satisfaisant E (| X |) <∞) et Y est n'importe quelle variable aléatoire, pas nécessairement intégrable, sur le même espace de probabilité , alors

$$\operatorname{E}(X) = \operatorname{E} ( \operatorname{E} ( X \mid Y))$$

Je ne comprends pas ce qu'ils entendent par le même espace de probabilité, et je ne sais pas pourquoi c'est une partie importante de la définition. Prenez l'exemple plus bas sur la page:

Supposons que deux usines fournissent des ampoules au marché. Les ampoules de l'usine X fonctionnent en moyenne 5000 heures, tandis que les ampoules de l'usine Y fonctionnent en moyenne 4000 heures. On sait que l'usine X fournit 60% du nombre total d'ampoules disponibles. Quelle est la durée prévue d'une ampoule achetée?

Les variables aléatoires semblent ici être:

1. La durée de vie d'une ampoule.
2. De quelle usine provient une ampoule.

Comment ces deux peuvent-ils avoir le même espace de probabilité?

Je ne comprends pas ce qu'ils entendent par le même espace de probabilité

C'est le problème.

La manière standard de penser les objets de la théorie des probabilités (variables aléatoires, distributions, etc.) passe par les axiomes de Kolmogorov . Ces axiomes sont encadrés dans le langage de la théorie des mesures , mais il est tout à fait possible de comprendre des cas simples sans théorie des mesures.

Fondamentalement, un modèle de probabilité se compose de trois choses: un ensemble $\Omega$, dont vous pouvez considérer les éléments individuels comme résumant le "véritable état du monde" (ou du moins tout ce que vous devez savoir à ce sujet); une collection$\mathcal{F}$ de sous-ensembles de $\Omega$(dont les éléments sont les événements possibles dont vous devrez peut-être mesurer la probabilité); et une mesure de probabilité$P$, qui est une fonction qui prend un événement $E \in \mathcal{F}$ et crache un certain nombre $P(E) \in [0, 1]$ (dont l'interprétation est la probabilité que l'événement $E$se produit). Le triple$(\Omega, \mathcal{F}, P)$est connu comme un espace de probabilité tant qu'il satisfait à certaines propriétés naturelles (par exemple, la probabilité d'une union de nombreux événements disjoints est la somme de leurs probabilités).

Dans ce cadre, une variable aléatoire $X$ est une fonction de $\Omega$ à $\mathbb{R}$. Dans votre exemple, nous avons deux variables aléatoires:$T$ (la durée d'une ampoule) et $F$ (de quelle usine provient une ampoule).

Comment ces deux peuvent-ils avoir le même espace de probabilité?

La question revient maintenant à: comment définir un espace de probabilité $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ et fonctions $T, F : \Omega \to \mathbb{R}$de manière à modéliser le problème considéré. Il y a plusieurs façons, mais la plus simple est de laisser$\Omega = \{ (f, t) : f = 0, 1, t > 0 \}$. Un élément$(f, t) \in \Omega$spécifie une ampoule particulière (non aléatoire) de l'usine$f$ qui durera longtemps $t$. Ensuite, nous définirions$T(f, t) = t$ et $F(f, t) = f$. La distribution conjointe de$(T, F)$ est alors défini en spécifiant $\mathcal{F}$ et $P$.

Je ne comprends pas ... pourquoi c'est une partie importante de la définition

L'attente conditionnelle $E[X \mid Y]$ d'une variable aléatoire $X$ étant donné une autre variable aléatoire $Y$est lui-même défini comme un type de variable aléatoire satsifiant certaines propriétés. Vous pouvez trouver la définition formelle ici , mais elle peut sembler assez mystérieuse si vous n'êtes pas familier avec la probabilité théorique de mesure. Fondamentalement, cette définition n'a pas de sens si$X$ et $Y$ne sont pas définis sur le même espace de probabilité. En fin de compte, cependant, il n'est généralement pas problématique de définir deux variables aléatoires sur un espace de probabilité commun, donc cette condition équivaut à une technicité.