Supposons que soit uniformément distribué sur . Laissez et . Montrer que la corrélation entre et est nulle.
Il semble que j'aurais besoin de connaître l'écart type du sinus et du cosinus, ainsi que leur covariance. Comment puis-je les calculer?
Je pense que je dois supposer que a une distribution uniforme, et regardez les variables transformées et . Ensuite, la loi du statisticien inconscient donnerait la valeur attendue
(la densité est constante car il s'agit d'une distribution uniforme, et peut donc être déplacée hors de l'intégrale).
Cependant, ces intégrales ne sont pas définies (mais ont des valeurs principales de Cauchy de zéro je pense).
Comment pourrais-je résoudre ce problème? Je pense que je connais la solution (la corrélation est nulle car le sinus et le cosinus ont des phases opposées) mais je ne trouve pas comment la dériver.
Réponses:
Depuis
la corrélation doit également être 0.
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J'aime vraiment l'argument de @ whuber par symétrie et je ne veux pas qu'il soit perdu en tant que commentaire, alors voici un peu d'élaboration.
Considérons le vecteur aléatoire , où et , pour . Ensuite, parce que paramètre le cercle unitaire par la longueur de l'arc, est distribué uniformément sur le cercle unitaire. En particulier, la distribution de est la même que la distribution de . Mais alors(X,Y) X=cos(U) Y=sin(U) U∼U(0,2π) θ↦(cos(θ),sin(θ)) (X,Y) (−X,Y) (X,Y)
il doit donc être que .Cov(X,Y)=0
Juste un bel argument géométrique.
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