Attente d'une fonction d'une variable aléatoire de CDF

Est-il possible de calculer l'espérance d'une fonction d'une variable aléatoire avec seulement le CDF du VR? Dis que j'ai une fonction $g(x)$ qui a la propriété $\int_{-\infty}^{\infty}g(x)dx \leq \infty$ et la seule information que j'ai sur la variable aléatoire est le CDF.

Par exemple, j'ai un scénario où il y a trois temporisateurs qui peuvent être modélisés comme des variables aléatoires exponentielles $X_1,X_2,X_3$ avec paramètres de débit $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ respectivement. Pour chaque instant, je gagne une récompense en fonction d'une fonction de récompense $g(x)$ . Autrement dit, ma récompense pour attendre le temps $t$ peut être écrit comme $\int_0^tg(x)dx$ . cependant, $g(x)$ connaît des rendements décroissants de sorte que la récompense marginale reçue d'attendre une seconde à $t=0$ est supérieur à une seconde par exemple $t=27$ . Ce «jeu» se termine lorsque l'une des deux choses se produit. Soit les deux minuteries $X_1$ ou $X_2$ doit sonner ou minuteries $X_1$ ou $X_3$ doit sonner. J'essaie de trouver la récompense attendue de jouer à ce jeu.

Actuellement, je peux calculer le CDF de la variable aléatoire en modélisant le temps jusqu'à la fin du jeu, mais je ne sais pas comment utiliser ces informations lorsque ce dont j'ai vraiment besoin est une récompense associée à ce temps.

Jusqu'à présent, j'ai les variables aléatoires supplémentaires:

W_{12} = max (X_{1}, X_{2}) W_{13} = max (X_{1}, X_{3}) Z = min (W_{12}, W_{13})

$W_{12}=\max(X_1,X_2) \quad W_{13}=\max(X_1,X_3) \quad Z=\min(W_{12},W_{13})$ Soit également désigne le CDF de Le CDF de , peut s'écrire:

F_{i} (x), i \in {1, 2, 3}

$F_i(x), i\in \{1,2,3\}$

X_{i}

$X_i$

Z

$Z$

F_{Z} (t) = F_{1} (t) F_{2} (t) + F_{1} (t) F_{3} (t) - F_{1} (t) F_{2} (t) F_{3} (t)

$F_Z(t) = F_1(t)F_2(t) + F_1(t)F_3(t) - F_1(t)F_2(t)F_3(t)$

Je sais quand une variable aléatoire prend des valeurs non négatives, vous pouvez utiliser un raccourci pour calculer l'attente à l'aide du CDF. Autrement dit, . Y a-t-il quelque chose de similaire que je pourrais utiliser pour une fonction d'une variable aléatoire, ou est-il nécessaire de calculer d'abord le pdf de pour calculer $E[X] = \int_0^\infty F(X\geq x)dx$ $Z$ $\int_0^\infty g(t)f_z(t)dx$

random-variable expected-value CoconutBandit
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Qu'entendez-vous par "uniquement" des informations? Le CDF vous dit tout sur le VR qui pourrait être lié aux attentes! Il semble que votre problème sous-jacent soit lié à la forme de calcul sous laquelle le CDF vous est remis. Veuillez expliquer votre situation. BTW, peut être indéfini ou infini même lorsque l'intégrale deest fini.

E [g (X)]

$E[g(X)]$

| g |

$|g|$

whuber

Je pense que vous recherchez une intégration par parties en.wikipedia.org/wiki/Integration_by_parts

seanv507

Réponses:

Lorsque est le CDF d'une variable aléatoire et est une fonction (mesurable), l'espérance de peut être trouvée comme une intégrale de Riemann-Stieltjes $F$ $X$ $g$ $g(X)$

E (g (X)) = \int_{- \infty}^{\infty} g (x) d F (x) .

$\mathbb{E}(g(X)) = \int_{-\infty}^\infty g(x) dF(x).$

Cela exprime la loi du statisticien inconscient.

Si est également différentiable, écrivez et intégrez par parties pour donner $g$ $dF = -d(1-F)$

E (g (X)) = - g (x) (1 - F (x)) |_{- \infty}^{\infty} + \int_{- \infty}^{\infty} (1 - F (x)) g^{'} (x) d x

$\mathbb{E}(g(X)) = -g(x)(1-F(x)){\big|}_{-\infty}^\infty + \int_{-\infty}^\infty (1-F(x)) g^\prime(x)\, \text{d}x$

à condition que les deux addends convergent. Cela signifie plusieurs choses, qui peuvent être simplement exprimées en brisant l'intégrale à une valeur finie définie telle que : $0$

${\lim}_{x\to -\infty} g(x)(1-F(x))$ et existent et sont finies. Si c'est le cas, le premier addend est la différence de ces deux. ${\lim}_{x\to \infty} g(x)(1-F(x))$
$\lim_{t\to -\infty} \int_t^0 (1-F(x))g^\prime(x)\,\text{d}x$ et existent et sont finis. Si c'est le cas, le deuxième ajout est la somme de ces deux. $\lim_{t\to \infty} \int_0^t (1-F(x))g^\prime(x)\,\text{d}x$

Un bon endroit pour rompre l'intégrale est à n'importe quel zéro de , car - à condition que diminue finalement assez rapidement pour les grands--qui fait disparaître le premier addend, ne laissant que l'intégrale de contre la fonction de survie . $g$ $g$ $|x|$ $g^\prime$ $1-F$

Exemple

L'espérance d'une variable non négative est obtenue en appliquant la formule à la fonction d'identité pour laquelle et en utilisant le fait que l'intégration peut commencer à zéro: $X$ $g(x)=x$ $g^\prime(x)=1$

E (X) = - x (1 - F (x)) |_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} (1 - F (x)) d x .

$\mathbb{E}(X) = -x(1-F(x))\big|_{0}^\infty + \int_{0}^\infty (1-F(x))\,\text{d}x.$

À condition que (c'est-à-dire que la fonction de survie n'a pas de queue trop lourde), la limite supérieure du premier terme disparaît. Sa limite inférieure disparaît évidemment. Il ne nous reste que l'intégrale, donnant l'expression dans la question. $\lim_{x\to\infty} x (1-F(x)) = 0$

whuber
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Merci, cela ressemble exactement à ce que je voulais. J'ai juste besoin de lire sur mon intégration Riemann-Stieltjes maintenant.

CoconutBandit

Dans votre application, parce que est continuellement différenciable partout sauf à , vous pouvez diviser l'intégrale à en deux intégrales Riemann et ignorer complètement les complications.

F

$F$

0

$0$

0

$0$

whuber

Qu'entendez-vous par «complications»? De plus, dans votre deuxième point, devrait-il être ? Sinon, pourquoi le devenu ?

\int_{t}^{0} (1 - F (x)) g (x) d x

$\int_t^0(1-F(x))g(x)dx$

\int_{t}^{0} (1 - F (x)) g^{'} (x) d x

$\int_t^0(1-F(x))g'(x)dx$

g^{'} (x)

$g'(x)$

g (x)

$g(x)$

CoconutBandit

(1) Merci, ces nombres premiers devaient être là. (2) "Complications" fait référence à la nécessité de l'intégrale de Riemann-Stieltjes au lieu de l'intégrale de Riemann.

whuber

Celui-ci utilise trois règles de différenciation de base: la règle de somme, la règle de produit et le fait que les constantes n'ont aucune dérivée.

whuber