Que signifie dire qu'un événement «se produit éventuellement»?

Considérons une marche aléatoire unidimensionnelle sur les entiers avec l'état initial : $\mathbb{Z}$ $x\in\mathbb{Z}$

S_{n} = x + \sum_{i = 1}^{n} ξ_{i}

$\begin{equation} S_n=x+\sum^n_{i=1}\xi_i \end{equation}$

où les incréments sont IID tels que . $\xi_i$ $P\{\xi_i=1\}=P\{\xi_i=-1\}=\frac{1}{2}$

On peut prouver que (1)

P^{x} {S_{n} reaches +1 eventually} = 1

$\begin{equation} P^x{\{S_n \text{ reaches +1 eventually}\}} = 1 \end{equation}$

où l'indice indique la position initiale.

Soit le premier temps de passage pour indiquer . En d'autres termes, . On peut aussi prouver que (2) $\tau$ $+1$ $\tau:=\tau(1):=\min\{n\geq0:S_n=1\}$

E τ = + \infty

$\begin{equation} E\tau = +\infty \end{equation}$

Les deux preuves peuvent être trouvées dans http://galton.uchicago.edu/~lalley/Courses/312/RW.pdf . En lisant l'article, je comprends les deux preuves.

Ma question est cependant de savoir quel est le sens de "éventuellement" dans la première déclaration ainsi qu'en général. Si quelque chose se produit "éventuellement", cela ne doit pas se produire dans un temps fini, n'est-ce pas? Si oui, quelle est vraiment la différence entre quelque chose qui ne se produit pas et quelque chose qui ne se produit pas "finalement"? Les déclarations (1) et (2) dans un certain sens me contredisent. Y a-t-il d'autres exemples comme celui-ci?

ÉDITER

Je veux simplement ajouter une motivation à la question, c'est-à-dire un exemple simple de quelque chose qui se produit "éventuellement", mais avec un temps d'attente attendu fin.

\begin{aligned} P {walker eventually moves left} & = 1 - P {walker never moves left} \\ = 1 - lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n}} \\ = 1 \end{aligned}

$\begin{split} P\{\text{walker eventually moves left}\} & = 1 - P\{\text{walker never moves left}\} \\ & = 1-\lim_{n\to\infty} \frac{1}{2^n} \\ & = 1 \end{split}$

Par conséquent, nous savons que le marcheur se déplacera "éventuellement" vers la gauche, et le temps d'attente prévu avant de le faire (c'est-à-dire se déplacer vers la gauche) est de . $1/(1/2)=2$

Voir quelque chose qui se produit "finalement" mais avec un "temps d'attente" infini attendu a été assez extensible pour mon imagination. La seconde moitié de la réponse de @ whuber est un autre excellent exemple.

probability terminology stochastic-processes randomness random-walk Ye Tian
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non signifie finalement en temps fini. C'est précisément ce qui est contrasté: P est fini, tandis que l'attente de tau est infinie

seanv507

Eh bien, il y a l'exemple canonique de la distribution de Cauchy en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_distribution .

seanv507

@ seanv507 - Oui, bien que la moyenne de la distribution de Cauchy soit indéfinie plutôt qu'infinie (une moyenne d'échantillon du dbn de Cauchy sautera à mesure que approche de l'infini plutôt que de converger régulièrement vers + Infinity). Je pensais à la distribution de Pareto ( en.wikipedia.org/wiki/Pareto_distribution ), qui a une moyenne = Infinity lorsque son paramètre de forme et a pourtant une fonction de distribution de probabilité bien définie.

n

$n$

α <= 1

$\alpha <= 1$

RobertF

@RobertF thanks - J'aurais dû dire Pareto

seanv507

Il y a du réconfort dans tout cela: si , alors , mais pas l'inverse.

P (τ = \infty) > 0

$P(\tau=\infty)>0$

E [τ] = \infty

$E[\tau]=\infty$

Alex R.

Réponses:

Comment pourriez-vous démontrer qu'un événement "se produit éventuellement"? Vous feriez une expérience de pensée avec un adversaire hypothétique. Votre adversaire peut vous défier avec n'importe quel nombre positif . Si vous pouvez trouver un (qui dépend probablement de ) pour lequel la probabilité que l'événement se produise au moment est d'au moins , alors vous gagnez. $p$ $n$ $p$ $n$ $1-p$

Dans l'exemple, " " est une notation trompeuse car vous l'utilisez à la fois pour faire référence à un état d'une marche aléatoire ainsi qu'à la marche aléatoire entière elle-même. Prenons soin de reconnaître la distinction. "Atteint éventuellement " est censé faire référence à un sous-ensemble de l'ensemble de toutes les marches aléatoires . Chaque marche comporte une infinité d'étapes. La valeur de à l'instant est . " atteint à l'instant " fait référence au sous-ensemble de de promenades qui ont atteint l'état à l'instant $S_n$ $1$ $\mathcal{S}$ $\Omega$ $S\in\Omega$ $S$ $n$ $S_n$ $S$ $1$ $n$ $\Omega$ $1$ $n$ . Rigoureusement, c'est l'ensemble

Ω_{1, n} = {S \in Ω ∣ S_{1} = 1 or S_{2} = 1 or \dots or S_{n} = 1} .

$\Omega_{1,n} = \{S\in\Omega \mid S_1=1\text{ or }S_2=1\text{ or }\cdots\text{ or }S_n=1\}.$

Dans votre réponse à l'adversaire imaginaire, vous présentez des avec la propriété $\Omega_{1,n}$

P_{ξ} (Ω_{1, n}) \geq 1 - p .

$\mathbb{P}_\xi(\Omega_{1,n}) \ge 1-p.$

Parce que est arbitraire, vous disposez de tous les éléments de l'ensemble $n$

Ω_{1, \infty} = ⋃_{n = 1}^{\infty} Ω_{1, n} .

$\Omega_{1,\infty} = \bigcup_{n=1}^\infty \Omega_{1,n}.$

(Rappelons que si et seulement s'il existe un fini pour lequel , donc il n'y en a pas tout nombre infini impliqué dans cette union.) $S \in \bigcup_{n=1}^\infty \Omega_{1,n}$ $n$ $S \in \Omega_{1,n}$

Votre capacité à gagner le jeu montre que cette union a une probabilité dépassant toutes les valeurs de la forme , peu importe la taille de . Par conséquent, cette probabilité est d'au moins - et est donc égale à . Vous aurez alors démontré que $1-p$ $p\gt 0$ $1$ $1$

P_{ξ} (Ω_{1, \infty}) = 1.

$\mathbb{P}_\xi(\Omega_{1,\infty}) = 1.$

Une façon simple d'apprécier la distinction entre "se produire éventuellement" et d'avoir un temps de premier passage infini attendu est d'envisager une situation plus simple. Pour tout nombre naturel, soit la séquence $n$ $\omega^{(n)}$

ω^{(n)} = (\underset{n}{\underset{⏟}{0, 0, \dots, 0}}, 1, 1, \dots)

$\omega^{(n)} = (\underbrace{0, 0,\ldots,0}_{n},1,1,\ldots)$

dans lequel zéros sont suivis d'une chaîne sans fin de uns. En d'autres termes, ce sont les promenades qui restent à l'origine et à un certain moment (fini) au point , puis y restent pour toujours. $n$ $1$

Soit l'ensemble de tous ces avec l'algèbre sigma discrète. Attribuer une mesure de probabilité via $\Omega$ $\omega^{(n)}, n=0, 1, 2, \ldots$

P (ω^{(n)}) = \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} = \frac{1}{(n + 1) (n + 2)} .

$\mathbb{P}(\omega^{(n)}) = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}.$

Cela a été conçu pour rendre la chance de sauter à au moment égale à , ce qui se rapproche évidemment arbitrairement de . Vous gagnerez la partie. Le saut se produit finalement et quand il le fera, ce sera à un moment fini. Cependant, le moment prévu où cela se produit est la somme de la fonction de survie (qui donne les chances de ne pas avoir sauté au temps ), $1$ $n$ $1-1/(n+1)$ $1$ $n$

E (τ) = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots,

$\mathbb{E}(\tau) = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots,$

qui diverge. En effet, une probabilité relativement grande est donnée d'attendre longtemps avant de sauter.

whuber
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Suis-je incompréhensible si je lis votre première section comme se résumant à un argument epsilon / delta, et donc simplement dire (où est la probabilité d'un événement après étapes) ?

lim_{n \to \infty} P_{n} = 1

$\lim_{ n \to \infty } P_n = 1$

P_{n}

$P_n$

n

$n$

jpmc26

@jpm Il ne se contente pas bouillir jusqu'à: il est un argument epsilon-delta. Dans ce cas, "delta" est " " et "epsilon" est écrit " " pour rappeler qu'il s'agit d'une probabilité. L'accent est mis ici sur la finitude de : les limites sont définies en termes de valeurs finies et d'opérations finies, pas infinies.

n

$n$

p

$p$

n

$n$

whuber

Je remercie un utilisateur anonyme d'avoir suggéré l'utilisation de underbracedans la description de .

ω^{(n)}

$\omega^{(n)}$

whuber

Le fait que quelque chose se produise signifie finalement qu'il y a un certain moment dans le temps, mais il y a une connotation selon laquelle on ne fait référence à aucun moment précis avant lequel cela se produit. Si vous dites que quelque chose se produira dans les trois semaines, c'est une déclaration plus forte que cela se produira finalement. Le fait que cela se produira finalement ne spécifie pas de temps, comme "trois semaines" ou "trente milliards d'années" ou "une minute".

Michael Hardy
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