La somme d'une variable aléatoire discrète et continue est-elle continue ou mixte?

Si est un discret et est une variable aléatoire continue, alors que pouvons-nous dire de la distribution de ? Est-ce continu ou mélangé? $X$ $Y$ $X+Y$

Qu'en est-il du produit ? $XY$

self-study distributions random-variable user666
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Réponses:

Supposons que $X$ prend des valeurs $k \in K$ avec une distribution discrète $(p_k)_{k \in K}$ , où $K$ est un ensemble dénombrable, et $Y$ prend des valeurs dans $\mathbb R$ avec la densité $f_Y$ et CDF $F_Y$ .

Laissez . On a $Z = X + Y$

P (Z \leq z) = P (X + Y \leq z) = \sum_{k \in K} P (Y \leq z - X ∣ X = k) P (X = k) = \sum_{k \in K} F_{Y} (z - k) p_{k},

$\mathbb P( Z \leq z) = \mathbb P(X + Y \leq z) = \sum_{k \in K} \mathbb P(Y \leq z - X \mid X = k) \mathbb P(X = k) = \sum_{k \in K} F_Y(z-k) p_k,$ qui peut être différenciée pour obtenir une fonction de densité pour

donnée par

Z

$Z$

f_{Z} (z) = \sum_{k \in K} f_{Y} (z - k) p_{k} .

$f_Z(z) = \sum_{k \in K} f_Y(z-k) p_k.$

Soit maintenant et supposons que . Alors $R = X Y$ $p_0 = 0$

P (R \leq r) = P (X Y \leq r) = \sum_{k \in K} P (Y \leq r / X) P (X = k) = \sum_{k \in K} F_{Y} (r / k) p_{k},

$\mathbb P(R \leq r) = \mathbb P(X Y \leq r) = \sum_{k \in K} \mathbb P(Y \leq r/X) \mathbb P(X= k) = \sum_{k \in K} F_Y(r/k) p_k,$ qui peut encore être différenciée pour obtenir une fonction de densité.

Cependant si , alors , ce qui montre que dans ce cas a un atome à 0. $p_0 > 0$ $\mathbb P(X Y = 0) \geq \mathbb P(X = 0) = p_0 > 0$ $XY$

Joris Bierkens
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$X$ $p_X : \mathcal{X} \to [0,1]$ $\mathcal{X}$ $X$

f_{X} (x) = \sum_{x_{k} \in X} p_{X} (x_{k}) δ (x - x_{k})

$f_X (x) = \sum_{x_k \in \mathcal{X}} p_X (x_k) \, \delta (x - x_k)$

$\delta$

$Y$ $Z := X+Y$ $X$ $Y$ $Z$ $X$ $Y$ $Z$ $f_X$ $f_Y$

f_{Z} (z) = \sum_{x_{k} \in X} p_{X} (x_{k}) f_{Y} (z - x_{k})

$f_Z (z) = \sum_{x_k \in \mathcal{X}} p_X (x_k) \, f_Y (z - x_k)$

Rodrigo de Azevedo
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Pourquoi le downvote?

Rodrigo de Azevedo

Ouais, je suis aussi curieux de savoir le downvote

Yair Daon

X

$X$

Y

$Y$

@whuber, je suis d'accord avec (b). Cependant, il est dit qu'un RV discret "peut être considéré comme ...", donc je pense que cela ajoute une vue intéressante.

Yair Daon

C'est pourquoi j'ai écrit que votre réponse est trompeuse. Parce que la question concerne la distinction entre les distributions discrètes et continues - et cette distinction est une question de définition mathématique, pas de «goût» - vos efforts pour confondre les deux sont probablement moins qu'utiles.

whuber

$X$ $Y$

Edit: je suppose que "continu" signifie "avoir un pdf". Si continu est plutôt destiné à signifier sans atome, la preuve est similaire; remplacez simplement "Lebesgue null set" par "singleton set" dans ce qui suit.

$X$ $\{x_1,x_2,x_3\dots\}$

$Z$ $P(Z\in E)=0$ $E$

$\square$

$X+Y$ $E$

P (X + Y \in E) = \sum_{k} P ({Y + x_{k} \in E} \cap {X = x_{k}}) \leq \sum_{k} P (Y + x_{k} \in E)

$P(X+Y\in E)=\sum_k P(\{Y+x_k\in E\}\cap \{X=x_k\})\le \sum_k P(Y+x_k\in E)$

Y + x_{k} \in E

$Y+x_k\in E$

Y \in E - x_{k}

$Y\in E-x_k$

E - x_{k}

$E-x_k$

Y

$Y$

P (Y + x_{k} \in E) = 0

$P(Y+x_k\in E)=0$

X + Y

$X+Y$

$P(X=0)=0$ $P(X=0)=1$ $XY$ $P(XY=0)=1$ $XY$

Mike Earnest
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