Estimateur non biaisé du paramètre poisson

Le nombre d'accidents par jour est une variable aléatoire de Poisson avec le paramètre , sur 10 jours choisis au hasard, le nombre d'accidents a été observé comme 1,0,1,1,2,0,2,0,0,1, ce qui sera un estimateur sans biais de e λ ?$\lambda$$e^{\lambda}$

J'ai essayé de tenter de cette manière: Nous savons que , mais E ( e ˉ x ) ≠ e λ . Quel sera alors l'estimateur sans biais requis?$E(\bar{x})=\lambda=0.8$$E(e^{\bar{x}})\neq\ e^{\lambda}$

Si , alors P ( X = k ) = λ k e - λ / k ! , pour k ≥ 0 . C'est difficile à calculer$X\sim \text{Pois}(\lambda)$$P(X = k) = \lambda^ke^{-\lambda}/k!$$k\geq 0$

mais est beaucoup plus facile à calculer E [ X n _ ] , où X n _ = X ( X - 1 ) ⋯ ( X - n + 1 ) : E [ X n _ ] = λ n

$$E[X^n] = \sum_{k\geq 0} k^n P(X = k)\text{,}$$ $E[X^{\underline{n}}]$$X^{\underline{n}} = X(X - 1)\cdots (X - n + 1)$ $$E[X^\underline{n}]=\lambda^n\text{.}$$ Vous pouvez le prouver par vous-même - c'est un exercice facile. Aussi, je vous laisse prouver par vous-même ce qui suit: Si sont iid comme Pois ( λ ) , alors U = ∑ i X i ∼ Pois ( N λ ) , donc E [ U n _ ] = ( N λ ) n = N n λ $X_1,\cdots, X_N$$\text{Pois}(\lambda)$$U = \sum_i X_i\sim \text{Pois}(N\lambda)$ Soit Z n = U n _ / N n . Il s'ensuit que $$E[U^{\underline{n}}] = (N\lambda)^n = N^n \lambda^n\quad\text{and}\quad E[U^\underline{n}/N^n] = \lambda^n\text{.}$$ $Z_n = U^{\underline{n}}/N^n$

• sont fonction de vos mesures X 1 , … , X $Z_n$$X_1$$\dots$$X_N$
• ,$E[Z_n] = \lambda^n$

Puisque , on peut en déduire$e^\lambda = \sum_{n\geq 0}\lambda^n /n!$

votre estimateur sans biais est doncW=∑n≥0Zn/n! , c'est-à-direE[W]=eλ. Cependant, pour calculerW, il faut évaluer une somme qui semble être infinie, mais notez queU∈N0, doncUn_=0pourn>U. Il s'ensuit queZn=0pour

$$E\left[\sum_{n\geq 0}\frac{Z_n}{n!}\right] =\sum_{n\geq 0} \frac{\lambda^n}{n!} = e^\lambda\text{,}$$ $W = \sum_{n\geq 0} Z_n/n!$$E[W] = e^\lambda$$W$$U\in \mathbb{N}_0$$U^\underline{n} = 0$$n>U$$Z_n = 0$ , donc la somme est finie.$n>U$

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Nous pouvons voir qu'en utilisant cette méthode, vous pouvez trouver l'estimateur sans biais pour toute fonction de qui peut être exprimée comme f ( λ ) = ∑ n ≥ 0 a n λ n .$\lambda$$f(\lambda) = \sum_{n\geq 0}a_n\lambda^n$

Il s'ensuit que $Y=\sum_{i=1}^{10} X_i \sim \text{Pois}(10\lambda)$$\theta=e^\lambda$

$$\begin{equation} \hat\theta = e^{\bar X} = e^{Y/10}. \end{equation}$$ $Y$ $$\begin{equation} M_Y(t)=e^{10\lambda(e^t - 1)}, \end{equation}$$ $$\begin{equation} E(\hat\theta) = E(e^{\frac1{10}Y}) = M_Y(\frac1{10}) = e^{10\lambda(e^{1/10} - 1)} = \theta^{10(e^{1/10}-1)}, \end{equation}$$ $\hat\theta$ $$\begin{equation} \theta^* = e^{aY}, \end{equation}$$ $a$$Y$ $$\begin{equation} E(\theta^*) = e^{10\lambda(e^a - 1)} = \theta^{10(e^a-1)}, \end{equation}$$ $10(e^a - 1) = 1$$a=\ln\frac{11}{10}$$\theta^* = (\frac{11}{10})^Y$$\theta=e^\lambda$

$Y$$\lambda$$\theta^*$$Y$$e^\lambda$