La somme d'un grand nombre de variables aléatoires de Cauchy indépendantes est-elle normale?

Selon le théorème de limite centrale, la fonction de densité de probabilité de la somme d'une grande variable aléatoire indépendante tend vers une normale. Peut-on donc dire que la somme d'un grand nombre de variables aléatoires de Cauchy indépendantes est également normale?

Non.

Vous manquez l'une des hypothèses centrales du théorème de la limite centrale:

... des variables aléatoires avec des variances finies ...

La distribution de Cauchy n'a pas de variance finie.

La distribution de Cauchy est un exemple de distribution qui n'a pas de moyenne, de variance ou de moments supérieurs définis.

En réalité

$X_1, \ldots, X_n$$\frac{X_1 + \cdots + X_n}{n}$

Donc, la situation dans votre question est assez claire, vous continuez à récupérer la même distribution de Cauchy.

C'est le concept d'une distribution stable non?

$a X_1 + b X_2$

(*) Citations de wikipedia.