Cette question découle de celle posée ici à propos d'une fonction de génération de moments liés (MGF).
Supposons que X est une variable aléatoire bornée à moyenne nulle prenant des valeurs dans
[−σ,σ] et que G(t)=E[etX] soit son MGF. D'un lié utilisé dans une preuve de l' inégalité de Hoeffding , nous avons que
G(t)=E[etX]≤eσ2t2/2
où le côté droit est reconnaissable comme le MGF d'une variable aléatoire normale moyenne nulle avec l'écart-type σ . Maintenant, l'écart-type de X ne peut pas être supérieur à σ , la valeur maximale se produisant lorsque X est une variable aléatoire discrète telle que P{X=σ}=P{X=−σ}=12 . Ainsi, la borne à laquelle on se réfère peut être considérée comme disant que le MGF d'une variable aléatoire bornée à moyenne nulleXest borné au-dessus par le MGF d'une variable aléatoire normale à moyenne nulle dont l'écart-type est égal à l'écart-type maximal possible queXpeut avoir.
Ma question est: est-ce un résultat bien connu d'intérêt indépendant qui est utilisé ailleurs que dans la preuve de l'inégalité de Hoeffding, et si oui, est-il également connu pour s'étendre à des variables aléatoires avec des moyens non nuls?
Le résultat qui pose cette question permet une plage asymétrique [a,b] pour X avec a<0<b mais insiste sur E[X]=0 . La borne est
G(t)≤et2(b−a)2/8=et2σ2max/2
où σmax=(b−a)/2est l'écart type maximal possible pour une variable aléatoire avec des valeurs limitées à[a,b], mais ce maximum n'est pas atteint par des variables aléatoires à moyenne nulle sauf si
b=−a.
Réponses:
Je ne peux pas répondre à la première partie de votre question, mais quant à son extension à des variables aléatoires avec des moyens non nuls ...
Tout d'abord, notez que tout rv avec une gamme finie [ a + μ , b + μ ] et (nécessairement finie) moyenne μ peut être transformé en un rv X = Z - μ qui est, bien sûr, une moyenne nulle avec la gamme [ a , b ] (satisfaisant ainsi aux conditions de votre énoncé de problème). La variée transformée a mgf ϕ X ( t ) = exp { - μ t } ϕ Z ( t )Z [a+μ,b+μ] μ X=Z−μ [a,b] ϕX(t)=exp{−μt}ϕZ(t) (par les propriétés de base du mgf) La multiplication des deux côtés par et l'application de l'inégalité donne:exp{μt}
Sans surprise, le mgf d'une variable aléatoire normale avec la même moyenne et l'écart-type égal à .σmax
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