Une vue dynamique des systèmes du théorème central limite?

(Initialement publié sur MSE.)

J'ai vu de nombreuses discussions heuristiques du théorème de la limite centrale classique parler de la distribution normale (ou de n'importe laquelle des distributions stables) comme d'un "attracteur" dans l'espace des densités de probabilité. Par exemple, considérez ces phrases en haut de Wikipedia traitement :

Dans une utilisation plus générale, un théorème central limite est l'un quelconque d'un ensemble de théorèmes de convergence faible dans la théorie des probabilités. Ils expriment tous le fait qu'une somme de nombreuses variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (iid), ou alternativement, des variables aléatoires avec des types de dépendance spécifiques, auront tendance à être distribuées selon l'une d'un petit ensemble de distributions d'attracteurs . Lorsque la variance des variables iid est finie, la distribution d'attracteur est la distribution normale.

Ce langage de systèmes dynamiques est très suggestif. Feller parle également d '"attraction" dans son traitement du CLT dans son deuxième volume (je me demande si c'est la source de la langue), et Yuval Flimus dans cette note parle même de "bassin d'attraction". (Je ne pense pas qu'il signifie vraiment "la forme exacte du bassin d'attraction est déductible à l'avance" mais plutôt "la forme exacte de l' attracteur est déductible à l'avance"; néanmoins, le langage est là.) Ma question est: ces les analogies dynamiques soient-elles précisées?Je ne connais aucun livre dans lequel ils se trouvent - bien que de nombreux livres tiennent à souligner que la distribution normale est spéciale pour sa stabilité sous convolution (ainsi que sa stabilité sous la transformée de Fourier). Cela nous dit essentiellement que la normale est importante car c'est un point fixe. Le CLT va plus loin en nous disant que ce n'est pas seulement un point fixe mais un attracteur.

Pour rendre cette image géométrique précise, j'imagine prendre l'espace de phase pour être un espace de fonction infini approprié (l'espace des densités de probabilité) et l'opérateur d'évolution pour être une convolution répétée avec une condition initiale. Mais je n'ai aucune idée des aspects techniques impliqués dans le fonctionnement de cette image ou si cela vaut la peine de poursuivre.

Je suppose que puisque je ne trouve pas de traitement qui poursuive cette approche explicitement, il doit y avoir quelque chose qui ne va pas avec mon sentiment que cela peut être fait ou que ce serait intéressant. Si tel est le cas, j'aimerais savoir pourquoi.

EDIT : Il y a trois questions similaires dans Math Stack Exchange et MathOverflow qui pourraient intéresser les lecteurs:

• Distributions gaussiennes en tant que points fixes dans certains espaces de distribution (MO)
• Théorème de la limite centrale via l'entropie maximale (MO)
• Existe-t-il une preuve du théorème central limite via un théorème de point fixe? (MSE)

Après avoir fouillé dans la littérature, encouragé par la réponse de Kjetil, j'ai trouvé quelques références qui prennent au sérieux l'approche des systèmes géométriques / dynamiques du CLT, en plus du livre de Y. Sinai. Je poste ce que j'ai trouvé pour d'autres qui pourraient être intéressés, mais j'espère toujours entendre un expert sur la valeur de ce point de vue.

L'influence la plus importante semble provenir des travaux de Charles Stein. Mais la réponse la plus directe à ma question semble provenir de Hamedani et Walter, qui ont mis une métrique sur l'espace des fonctions de distribution et montré que la convolution génère une contraction, ce qui donne la distribution normale comme point fixe unique.

• M. Anshelevich, La linéarisation de l'opérateur central limite dans la théorie des probabilités libres , arXiv: math / 9810047v2.
• LHY Chen, L. Goldstein et Q. Shao, approximation normale par la méthode de Stein , Springer, 2011.
• JA Goldstein, preuves semi-théoriques du théorème central limite et d'autres théorèmes d'analyse , Semigroup Forum 12 (1976), no. 3, 189-206.
• GG Hamedani et GG Walter, Un théorème de point fixe et son application au théorème central limite , Arch. Math. (Bâle) 43 (1984), no. 3, 258-264.
• S. Swaminathan, Preuves théoriques à point fixe du théorème de la limite centrale, dans Théorie et applications du point fixe (Marseille, 1989), Pitman Res. Notes Math. Ser., Vol. 252, Longman Sci. Tech., Harlow, 1991, p. 391–396. Cité dans Karl Stromberg, Probability for Analysts, page 114 .

AJOUTÉE le 19 octobre 2018.

Une autre source de ce point de vue est Probabilité d' Oliver Knill et Processus Stochastiques avec Applications , p. 11 (pas d'italique dans l'original):

$P$$f_y$$f_{\overline{Y+X}}$$\overline{Y+X}$$Y + X$$0$$1$$f= 1$$P^n(f_X)$$S^{*}_n$$n$$X_i$$1$$0$$P$ $\mathcal{L}^1$. Cela fonctionne également dans d'autres situations. Par exemple, pour les variables aléatoires à valeur de cercle, la distribution uniforme maximise l'entropie. Il n'est donc pas surprenant qu'il existe un théorème central limite pour les variables aléatoires de valeur de cercle avec la distribution uniforme comme distribution limite.

Le texte "Probability Theory An Introductory Course" de Y Sinai (Springer) traite de la CLT de cette manière.

http://www.springer.com/us/book/9783662028452

L'idée est (de mémoire ...) que

1) La distribution normale maximise l'entropie (parmi les distributions à variance fixe) 2) L'opérateur de moyenne $A(x_1,x_2) = \frac{x_1+x_2}{\sqrt{2}}$maintient la variance et augmente l'entropie ... et le reste est technique. Ainsi, vous obtenez le paramètre de systèmes dynamiques d'itération d'un opérateur.