Inégalité unilatérale de Chebyshev pour un moment plus élevé

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Y a-t-il un analogue aux inégalités du moment supérieur de Tchebychev dans le cas unilatéral?

L'inégalité de Chebyshev-Cantelli ne semble fonctionner que pour la variance, tandis que l'inégalité de Chebyshev peut facilement être produite pour tous les exposants.

Quelqu'un connaît-il une inégalité unilatérale en utilisant les moments supérieurs?

Andreas Mueller
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Réponses:

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Pour plus de commodité, notons une variable aléatoire à moyenne nulle continue avec la fonction de densité f ( x ) , et considérons P { X a }a > 0 . On a P { X a } = a f ( x )Xf(x)P{Xa}a>0 g ( x ) = 1 [ a , ) . Si n est unmêmenombre entier et b un nombre réel positif, h ( x ) = ( x + b

P{Xa}=af(x)dx=g(x)f(x)dx=E[g(X)]
g(x)=1[a,)nb et donc E[h(X)]=- h(x)f(x)
h(x)=(x+ba+b)ng(x),<x<,
On a donc que pour tous les nombres réels positifs a et b , P { X a } E [ ( X + b
E[h(X)]=h(x)f(x)dxg(x)f(x)dx=E[g(X)].
ab où l'espérance la plus à droite en(1)est len-ème moment (npair) deXenviron-b. Lorsquen=2, la plus petite borne supérieure sur P{Xa}est obtenue lorsqueb=σ2
(1)P{Xa}E[(X+ba+b)n]=(a+b)nE[(X+b)n]
(1)nnXbn=2P{Xa} donnant l'inégalité unilatérale de Chebyshev (ou l'inégalité de Chebyshev-Cantelli): P { X a } σ 2b=σ2/a Pour des valeurs plus grandes den, la minimisation par rapport àbest plus compliquée.
P{Xa}σ2a2+σ2.
nb
Dilip Sarwate
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