Laisser ( Ω , F, P )être un espace de probabilité. Conjecture:
Supposons que nous ayons les événements st , ou . Il existe une séquence indépendante d'événements stUNE1,UNE2, . . .∀ A ∈ ⋂nσ(UNEn,UNEn + 1, . . . )P( A ) = 01B1,B2, . . .
τUNEn: =⋂nσ(UNEn,UNEn + 1, . . . ) =⋂nσ(Bn,Bn + 1, . . . ) : =τBn
Est-ce vrai?
Je pense qu'il existe une fonction st sont indépendantes pour que nous puissions choisir . Est-ce vrai? Pourquoi pourquoi pas? Sinon, comment puis-je prouver ou infirmer la conjecture ci-dessus? Si c'est vrai, je pense que cela peut être prouvé en modifiant la preuve de la loi Kolmogorov 0-1 (pour les événements).F: N → NUNEF( n )Bn=UNEF( n )
Peut-être que l'une de ces sous-séquences d'ensembles est indépendante:
UNEn
UNE2 n,UNE2 n + 1
UNE3 n,UNE3 n + 1,UNE3 n + 2
⋮
UNEm n,UNEm n + 1,UNEm n + 2, . . . ,UNEm n + ( m - 1 )
⋮
Je pense que nous avons ça
τUNEn=τUNEm n + i: =⋂nσ(UNEm n + i,UNEm ( n + 1 ) + i, . . . )
où et .m ∈ Ni ∈ { 0 , 1 , 2 , . . . , m - 1 }
Il semble que nous ayons besoin d'un tel , s'il existe, pour satisfaire la condition suivante:F( n )
σ(UNEF( n ),UNEF( n + 1 ). . . ) ⊆ σ(UNEn,UNEn + 1, . . . )(**)
ce qui, je suppose, est vrai si (et seulement si?)F( n ) ≥ n .
Autres candidats possibles pour :F( n ) (supposons que les variables sont st est satisfait. Si besoin est, ou aussi.)F: N → N( ∗ ∗ )F( n ) ≥ n
∑mi = 0unejenje
2n,3n, . . .
∑mi = 1bjecnje
⌊tn⌋ , ⌈tn⌉ ( je suppose quet >e1 / e )
⌊∑mi = 1bjecnje⌋ , ⌈∑mi = 1bjecnje⌉
⌊ combinaison linéaire de fonctions trigonométriques ⌋ ,⌈ combinaison linéaire de fonctions trigonométriques ⌉
⌊ Une combinaison linéaire de ce qui précède ⌋ ,⌈ Une combinaison linéaire de ce qui précède ⌉
En supposant que la conjecture est vraie , je suppose qu'il n'est pas nécessaire de trouver qui fonctionne pour toutes les séquences possibles d'événements car un tel peut même ne pas exister.F(n)A1,A2,...f(n)
Pour réfuter la conjecture : je suppose que nous devons montrer qu'une telle séquence étant indépendante implique que tail ne sera jamais égal à tail puisque tail sera trivial par Kolmogorov 0-1 Law (pour les événements).BnBnAnBnP−
Quelque chose qui pourrait aider: nous pourrions montrer que ou et n'est pas indépendant, mais je ne suis pas sûr que la conjecture soit réfutée parce que nous pourrait construire des qui ressemblent à:∀ A∈⋂nσ(Af(n),Af(n+1),...),P(A)=01∀n∈N,Af(n),Af(n+1),...Bn
Bn=An+1∖An
Bn=An∖An−1,A0=∅
Bn=⋂mAmn
Bn=⋃mAmn
B2n=⋂mAmn,B2n+1=⋃mAm n
Bn=lim supmUNEm n
Bn=lim infmUNEm n
B2 n=lim supmUNEm n,B2 n + 1=lim infmUNEm n
Cela ne veut pas dire, bien sûr, que ces satisfont mais que n'a pas besoin d'être sous la forme .BnτUNEn=τBnBnUNEf( n )
Borel-Cantelli:
Si . Par conséquent, est indépendant.∑nP(UNEn) < ∞ → 0 =P( lim supUNEn) =P( lim supUNEm n) ∀ m ∈ N Bm= lim supUNEm n
Si , alors peut - être cette extension de Borel-Cantelli ? Je ne suis pas sûr de bien comprendre ou comment cela serait utile. Je ne pense pas que nous puissions conclure quoi que ce soit si nous avons .∑nP(UNEn) = ∞P( lim supUNEn)
Ensuite, il y a le cas de mais les conditions précédentes ne sont pas remplies.∑nP(UNEn) = ∞
Réponses:
Si vous voulez que les événements soient indépendants de manière intéressante (pas simplement parce que ou ) alors la conjecture est fausse.Bn P(Bn)=0 P(Bn)=1
Voici un exemple pédant. Supposons que est un espace de probabilité suffisamment riche.(Ω,F,P)
Soit être -null, c'est-à-dire . Prenez , de sorte que la queue -algèbre soit .A∈F P P (A)=0 Ai=A σ G={∅,A,Ac, Ω }
Notez qu'en particulier, est fini.g
Supposons maintenant que soit une séquence d'événements indépendante avec délimitée par et . Ensuite, la queue -algèbre n'est pas générée de façon dénombrable. (Voir par exemple l'exercice 1.1.18 http://math.mit.edu/~dws/175/prob01.pdf , qui utilise un argument comme je l'ai expliqué ci-dessus - tout -trivial -algebra généré un atome de masse , mais n'a pas un tel atome).B1,B2, … P(Bn) 0 1 σ H P σ 1 H
Donc, est fini mais n'est même pas généré de façon dénombrable.g H
Édition 2: si vous acceptezP(Bn) = 0 vous pouvez répliquer tout -trivial -algebra généré numériquement . Plus en détail, supposons que est généré par les événements . Si est -trivial alors les sont tous indépendants, en vertu d'être nuls (ou étant nuls). Faites maintenant une construction triangulaire pour les événements :
, , . P σ g E1,E2, … ∈G⊂ F g P En Ecn B B1 , 1=E1 B2 , 1=E1,B2 , 2=E2, …,Bk , j=Ej 1 ≤ j ≤ k
Alors est une séquence dénombrable (avec un ordre naturel pour les indices) d'événements indépendants dont la queue -algèbre est .(Bk , j) σ g
Donc, ici, je pense que c'est la question clé: supposons que est une queue mathématique générée numériquement -algèbre (provenant d'événements non nuls qui pourraient être dépendants). Peut être réalisé comme la queue -algèbre pour certains événements nuls?g P σ g σ
Édition 1: une zone grise se produit si vous acceptez , bien que cela ne semble pas être l'idée maîtresse de la question d'origine.P (Bn) → 0
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