Le théorème de Slutsky est-il toujours valide lorsque deux séquences convergent toutes les deux vers une variable aléatoire non dégénérée?

Je suis confus au sujet de certains détails sur le théorème de Slutsky :

Soit , deux séquences d'éléments aléatoires scalaires / vectoriels / matriciels.$\{X_n\}$$\{Y_n\}$

Si converge en distribution vers un élément aléatoire et converge en probabilité vers une constante , alors condition que soit inversible, où dénote la convergence dans la distribution.$X_n$$X$$Y_n$$c$

$$\eqalign{ X_{n}+Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X+c\\ X_{n}Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ cX\\ X_{n}/Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X/c, }$$ $c$${\xrightarrow {d}}$

Si les deux séquences du théorème de Slutsky convergent toutes les deux vers une variable aléatoire non dégénérée, le théorème est-il toujours valide, et sinon (quelqu'un pourrait-il fournir un exemple?), Quelles sont les conditions supplémentaires pour le rendre valide?

Le théorème de Slutsky ne s'étend pas à deux séquences convergeant en distributions vers une variable aléatoire. Si converge dans la distribution à , peut bien ne pas converger ou peut converger vers quelque chose d' autre que . Y X n + Y n X + $Y_n$$Y$$X_n+Y_n$$X+Y$

Par exemple, si pour tous « s, ne converge pas à la différence de deux véhicules récréatifs avec la même répartition que . n X n + Y n$Y_n=-X_n$$n$$X_n+Y_n$$X$

Un autre contre-exemple est que, lorsque les séquences et sont indépendantes et convergent toutes les deux en distribution vers une variable normale , si l'on définit et , puis Voir la réponse de Davide pour plus de détails sur cet exemple.{ Y n } N ( 0 , 1 ) X 1 ∼ N ( 0 , 1 ) X 2 = - X 1 X n d → X 1 Y n d → X 2 X n + Y n ⧸ d → X 1 + X 2 = $\{X_n\}$$\{Y_n\}$$\text{N}(0,1)$$X_1\sim\text{N}(0,1)$$X_2=-X_1$

Supposons que est un vecteur centré gaussien dont la matrice de covariance est avec . Définissez et pour . Puis et , où et sont une variable aléatoire normale standard. Cependant, est gaussien, centré et sa variance est . Puisque rien n'est connu sur la distribution de , nous ne pouvons pas affirmer que dans la distribution.( 1 ρ ρ 1 ) | ρ | ⩽ $(X_0,Y_0)$$\pmatrix{1&\rho\\ \rho&1}$$|\rho|\leqslant 1$$X_n:=X_0$$Y_n:=Y_0$$n\geqslant 1$$X_n\to X$$Y_n\to Y$$X$$Y$$X_n+Y_n$$2+2\rho$$X+Y$$X_n+Y_n\to X+Y$

Cet exemple montre que nous pouvons avoir en général et dans la distribution, mais si nous n'avons pas d'informations sur la distribution de , la convergence peut échouer.Y n → Y X + Y X n + Y n → X + $X_n\to X$$Y_n\to Y$$X+Y$$X_n+Y_n\to X+Y$

Bien sûr, tout va bien si dans la distribution (par exemple si est indépendant de et de En général, nous ne pouvons affirmer que la séquence est serré (c'est-à-dire que pour chaque positif , on peut trouver tel que ). Cela implique que nous pouvons trouver une suite croissante d'entiers telle que converge dans la distribution à une variable aléatoire .$(X_n,Y_n)\to (X,Y)$$X_n$$Y_n$$X$$Y$$(X_n+Y_n)_{n\geqslant 1}$$\varepsilon$$R$$\sup_n\mathbb P\{|X_n+Y_n|\gt R\}\lt \varepsilon$$(n_k)_{k\geqslant 1}$$(X_{n_k}+Y_{n_k})_{k\geqslant 1}$$Z$

Proposition. Il existe des séquences de variables aléatoires gaussiennes et telles que pour tout , nous pouvons trouver une séquence croissante d'entiers tel que converge en distribution vers .$(X_n)_{n\geqslant 1}$$(Y_n)_{n\geqslant 1}$$\sigma\in [0,2]$$(n_k)_{k\geqslant 1}$$(X_{n_k}+Y_{n_k})_{k\geqslant 1}$$N(0,\sigma^2)$

Preuve. Considérons une énumération de nombres rationnels de et une bijection . Pour , définissez comme un vecteur gaussien centré de matrice de covariance . Avec ce choix, on peut voir que la conclusion de la proposition est satisfaite lorsque est rationnel. Utilisez un argument d'approximation pour le cas général.$(r_j)$$[-1,1]$$\tau\colon \mathbb N\to \mathbb N^2$$n\in \tau^{-1}(\{j\})\times\mathbb N$$(X_n,Y_n)$$\pmatrix{1&r_j\\ r_j&1}$$\sigma$