Coefficient de corrélation pour une distribution uniforme sur une ellipse

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Je lis actuellement un article qui prétend que le coefficient de corrélation pour une distribution uniforme à l' intérieur d'une ellipse

fX,Y(x,y)={constantif (x,y) inside the ellipse0otherwise

est donné par

ρ=1(hH)2

où et sont les hauteurs verticales au centre et aux extrémités respectivement.hH

entrez la description de l'image ici

L'auteur ne révèle pas comment il y parvient et dit simplement que nous devons changer d'échelle, faire pivoter, traduire et bien sûr intégrer. J'aimerais beaucoup revenir sur ses pas mais je suis un peu perdu avec tout ça. Je serais donc reconnaissant pour quelques indices.

Merci d'avance.

Oh, et pour le compte rendu

Châtillon, Guy. "Le ballon règle pour une estimation approximative du coefficient de corrélation." The American Statistician 38.1 (1984): 58-60

C'est assez amusant.

JohnK
la source
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Pourriez-vous écrire une expression pour l'ellipse? La "hauteur à l'extrême" n'a pas de sens pour une ellipse standard: car elle a la hauteur à les extrêmes. En effet, si est uniformément réparti à l'intérieur de l'ellipse standard, alors .
x2a2+y2b2=1
0(X,Y)ρ=0
Dilip Sarwate
@DilipSarwate Oui, j'ai essayé le cas standard et calculé , aucun problème là-bas. Qu'en est-il des autres cas, où vous devez évoluer, faire pivoter, etc.? ρ=0
JohnK
2
L'ensemble de l'opération semble fondamentalement erroné. La partie "changement d'échelle" détruit l'uniformité. Une distribution vraiment uniforme est obtenue en tant que distribution limite dans des tampons étroits (euclidiens) de la courbe ou est uniforme par la longueur d'arc. Dans les deux cas, la constante de normalisation est une fonction elliptique complète et ne simplifiera probablement pas l'expression donnée ici. Je ne sais pas ce que et signifient, mais - à titre d'exemple - le coefficient de corrélation pour une ellipse avec un axe majeur deux fois le petit axe, incliné à un angle de , sera de . hHπ/60.78004
whuber
@whuber J'ai inclus une figure du papier qui explique ce que et représentent, j'espère que cela le rendra plus clair. hH
JohnK
2
Si vous souhaitez une réponse complète et complète, vous la trouverez dans mon article à l' adresse stats.stackexchange.com/a/71303/919 . Après tout, lorsque l'ellipse est un cercle, l'uniforme est (évidemment) circulaire symétrique, donc à peu près tout dans cette réponse s'applique directement. En particulier, en considérant l'ellipse non pas comme une rotation d'une ellipse horizontale, mais comme une transformation asymétrique, la formule de devient évidente, car (en utilisant la notation dans la section «Comment créer des ellipses»). ρ1ρ2=λ=h/H
whuber

Réponses:

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Soit uniformément distribué à l'intérieur de l'ellipse où et sont les demi- axes de l'ellipse. Ensuite, et ont des densités marginales et il est facile de voir que . Aussi, (X,Y)

x2a2+y2b2=1
abXY
fX(x)=2πa2a2x21a,a(x),fX(x)=2πb2b2y21b,b(y),
E[X]=E[Y]=0
σX2=E[X2]=2πa2aax2a2x2dx=4πa20ax2a2x2dx=4πa2×a412Γ(3/2)Γ(3/2)Γ(3)=a24,
et de même, . Enfin, et sont des variables aléatoires non corrélées .σY2=b24XY

Soit qui est une transformation de rotation appliquée à . Ensuite, sont uniformément répartis à l'intérieur d'une ellipse dont les axes ne coïncident pas avec les axes et . Mais, il est facile de vérifier que et sont des variables aléatoires à moyenne nulle et que leurs variances sont De plus,

U=XcosθYsinθV=Xsinθ+Ycosθ
(X,Y)(U,V)uvUV
σU2=a2cos2θ+b2sin2θ4σV2=a2sin2θ+b2cos2θ4
cov(U,V)=(σX2σY2)sinθcosθ=a2b28sin2θ
à partir de laquelle nous pouvons obtenir la valeur de .ρU,V

Maintenant, l'ellipse sur laquelle l'intérieur est uniformément distribué a l'équation(U,V)

(ucosθ+vsinθ)2a2+(usinθ+vcosθ)2b2=1,
c'est-à-dire qui peut également être exprimé comme définition de dans donne . tandis que la différenciation implicite de par rapport à donne
(cos2θune2+péché2θb2)u2+(péché2θune2+cos2θb2)v2+((1une2-1b2)péché2θ)uv=1,
(1)σV2u2+σU2v2-2ρU,VσUσVuv=une2b24
u=0(1)h=unebσU(1)u
σV22u+σU22vvu-2ρU,VσUσV(v+uvu)=0,
c'est-à-dire que la tangente à l'ellipse est horizontale aux deux points de l'ellipse pour lesquels La valeur de peut être déterminée à partir de cela, et conduira (dans le cas peu probable où je n'ai commis aucune erreur en effectuant les calculs ci-dessus) au résultat souhaité.(1)(u,v)
ρU,VσUv=σvu.
H
Dilip Sarwate
la source
C'est une matrice de rotation orthogonale appropriée, merci.
JohnK