invariance de corrélation à la transformation linéaire:

C'est en fait l'un des problèmes de la 4ème édition de Gujarati Basic Econometrics (Q3.11) et dit que le coefficient de corrélation est invariant par rapport au changement d'origine et d'échelle, c'est-à-dire où , , , sont des constantes arbitraires.

$$\text{corr}(aX+b, cY+d) = \text{corr}(X,Y)$$ $a$$b$$c$$d$

Mais ma principale question est la suivante: Soit et des observations appariées et supposons que et sont positivement corrélés, c'est-à-dire . Je sais que serait négatif basé sur l'intuition. Cependant, si nous prenons , il s'ensuit que qui fait pas de sens.$X$$Y$$X$$Y$$\text{corr}(X,Y)>0$$\text{corr}(-X,Y)$$a=-1, b=0, c=1, d=0$

$$\text{corr}(-X,Y) = \text{corr}(X,Y) >0$$

J'apprécierais que quelqu'un puisse signaler l'écart. Merci.

Puisque et l'égalité n'est valable que lorsque et sont tous deux positifs ou tous deux négatifs, c'est-à-dire .

$$\text{corr}(X,Y)=\frac{\text{cov}(X,Y)}{\text{var}(X)^{1/2}\,\text{var}(Y)^{1/2}}$$ $$\text{cov}(aX+b,cY+d)=ac\,\text{cov}(X,Y)$$ $$\text{corr}(aX+b, cY+d) = \text{corr}(X,Y)$$ $a$$c$$ac>0$