Comment montrer qu'un estimateur est cohérent?

Suffit-il de montrer que MSE = 0 comme $n\rightarrow\infty$ ? J'ai également lu dans mes notes quelque chose sur le plim. Comment puis-je trouver le plim et l'utiliser pour montrer que l'estimateur est cohérent?

EDIT: Correction d'erreurs mineures.

Voici une façon de procéder:

Un estimateur de $\theta$ (appelons-le $T_n$ ) est cohérent s'il converge en probabilité vers $\theta$ . Utiliser votre notation

$\mathrm{plim}_{n\rightarrow\infty}T_n = \theta$.

La convergence des probabilités, mathématiquement, signifie

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} P(|T_n - \theta|\geq \epsilon)= 0$pour tout$\epsilon>0$.

La façon la plus simple de montrer la convergence en probabilité / cohérence est d'invoquer l'inégalité de Chebyshev, qui dit:

.$P((T_n - \theta)^2\geq \epsilon^2)\leq \frac{E(T_n - \theta)^2}{\epsilon^2}$

Donc,

.$P(|T_n - \theta|\geq \epsilon)=P((T_n - \theta)^2\geq \epsilon^2)\leq \frac{E(T_n - \theta)^2}{\epsilon^2}$

Et donc vous devez montrer que va à 0 comme n → ∞ .$E(T_n - \theta)^2$$n\rightarrow\infty$

EDIT 2 : Ce qui précède nécessite que l'estimateur soit au moins asymptotiquement sans biais. Comme le souligne G. Jay Kerns, considérons l'estimateur (pour estimer la moyenne μ ). T n est biaisé à la fois pour n fini et asymptotiquement, et V a r ( T n ) = V a r ( ˉ X n ) → 0 comme n → ∞ . Cependant, T $T_n = \bar{X}_n+3$$\mu$$T_n$$n$$\mathrm{Var}(T_n)=\mathrm{Var}(\bar{X}_n)\rightarrow 0$$n\rightarrow \infty$$T_n$n'est pas un estimateur cohérent de .$\mu$

EDIT 3 : Voir les points du cardinal dans les commentaires ci-dessous.