Si et  sont des événements indépendants et que et sont des événements indépendants, comment puis-je montrer que et  sont indépendants?

Soit et  des événements indépendants, et que  et soient des événements indépendants. Comment puis-je montrer que  et sont également des événements indépendants?$A$$B$$A$$C$$A$$B\cup C$

Selon la définition des événements indépendants,  et sont indépendants si et seulement si$A$$B\cup C$

Puisque et  et et  sont indépendants, je sais que $A$$B$$A$$C$

Cependant, je ne sais pas comment résoudre ce problème. J'ai essayé d'appliquer les règles de probabilité que je connais, mais je n'ai réussi à rien.

Soit et des événements indépendants, et que et soient des événements indépendants. Comment puis-je montrer que et sont également des événements indépendants?$A$$B$$A$$C$$A$$B\cup C$

Vous ne pouvez pas afficher ce résultat car il ne s'applique pas à tous les bénéficiant de ces propriétés. Considérez le contre-exemple suivant.$A, B, C$

Considérez deux lancers indépendants d'une pièce de monnaie équitable. Soit et les événements que le premier et le deuxième lancer ont respectivement engendrés dans les têtes et les queues. Soit l'événement où exactement un tirage a donné des têtes.$B=\{HT,HH\}$$C=\{HT,TT\}$$A=\{HT,TH\}$

Alors, tandis que et donc et sont des événements indépendants comme Événements indépendants et En effet, et sont également des événements indépendants (c'est-à-dire que , et sont des événements indépendants par paire ). Cependant, et donc et sont des événements dépendants .$P(A)=P(B)=P(C) = \frac 12$$P(A\cap B) = P(A\cap C) = \frac 14$$A$$B$$A$$C$$B$$C$$A$$B$$C$

En mettant de côté notre contre-exemple, considérons les conditions nécessaires pour rendre les événements et indépendants. Les autres réponses ont déjà fait le travail pour nous. Nous avons que et donc est égal à (comme cela est nécessaire pour prouver que et sont des événements indépendants) exactement quand$A$$B\cup C$

$A$ et sont des événements indépendants chaque fois que et sont des événements indépendants.$B\cup C$$A$$B\cap C$

Notez que le fait que et soient indépendants ou non n'est pas pertinent pour le problème en question: dans le contre-exemple ci-dessus, et étaient des événements indépendants et pourtant et n'étaient pas des événements indépendants. Bien sûr, comme l'a noté Deep North, si , et sont des événements mutuellement indépendants (ce qui nécessite non seulement l'indépendance de et mais aussi de à maintenir), puis et$B$$C$$B$$C$ $A = \{HT, TH\}$$B\cap C = \{HT\}$$A$$B$$C$$B$$C$$P(A\cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)$$A$$B\cap C$ sont en effet des événements indépendants. L'indépendance mutuelle de , et est une condition suffisante .$A$$B$$C$

En effet, si et sont des événements indépendants, puis, en même temps que l'hypothèse selon laquelle et sont indépendants, tout comme et événements indépendants, on peut montrer que est indépendant de tous des événements , c'est-à-dire des événements de l' algèbre générée par et ; un de ces événements est .$A$$B\cap C$$A$$B$$A$$C$$A$$4$$B\cap C, B\cap C^c, B^c\cap C, B^c\cap C^c$$16$$\sigma$$B$$C$$B\cup C$

Deux choses.

1) Existe-t-il un moyen de réécrire l'événement . Intuitivement, nous savons comment A, B et A, C interagissent, mais nous ne savons pas comment B, C interagissent. Donc se met en travers de notre chemin.$A \cap (B\cup C)$$(B\cup C)$

2) Connaissez-vous un moyen de réécrire ?$P(X\cup Y)$

Même si vous n'obtenez pas immédiatement la réponse, veuillez modifier votre réponse avec les réponses à ces questions et nous irons de là.

Éditer

Veuillez me vérifier à ce sujet. Je crois que j'ai un contre-exemple.

Lancer un dé pour obtenir X.

A: X <4

B: X dans {1, 4}

C: X dans {1, 5}

Selon le commentaire de Dilip Sarwate, ces événements ne sont manifestement pas indépendants.

La façon typique dont j'essayerais de prouver l'indépendance procède comme ceci:

et ici vous voudriez factoriser de l'expression afin d'établir la propriété , ce qui serait suffisant pour prouver indépendance. Cependant, si vous essayez de le faire ici, vous êtes coincé:$P(A)$$P(A, B \cup C) = P(A)P(B \cup C)$

Notez que l'expression contreventée est presque , ce qui vous permettrait d'atteindre votre objectif. Mais vous ne disposez d'aucune information vous permettant de réduire davantage .$P(B) + P(C) - P(B,C)$$P(B,C \, | \, A)$

Notez que dans ma réponse d'origine, j'avais affirmé sans scrupule que et donc affirmé à tort que le résultat demandé à prouver était vrai; c'est facile de gâcher!$P(B, C \, | \, A) = P(A)P(B, C)$

Mais étant donné qu'il s'avère difficile de démontrer l'indépendance de cette manière, une bonne étape suivante consiste à rechercher un contre-exemple, c'est-à-dire quelque chose qui fausse la revendication d'indépendance. Le commentaire de Dilip Sarwate sur le PO comprend exactement un tel exemple.

$P[A \cap(B \cup C)]=P[(A \cap B) \cup (A \cap C)]=P(A \cap B)+P(A \cap C)-P[( A \cap B)\cap (A \cap C)]=P(A)*P(B)+P(A)*P(C)-P(A \cap B \cap C)$

$P(A)*P(B \cup C)=P(A)[P(B)+P(C)-P(B \cap C)]=P(A)*P(B)+P(A)*P(C)-P(A)*P( B \cap C)$

Maintenant, nous devons montrer$P(A \cap B \cap C)=P(A)*P( B \cap C)$

Si sont mutuellement indépendants, les résultats sont évidents.$A, B,C$

Bien que la condition soit et sont indépendantes et et sont indépendantes ne garantissent pas indépendant de et$A$$B$$A$$C$$B$$C$

Par conséquent, le PO devra peut-être réexaminer l'état de la question.

P {A (B + C)} = P (AB + BC) = P (AB) + P (AC) -P (ABC) = P (A) P (B) + P (A) P (C) - P (A) P (BC) [A, B, C sont mutuellement indépendants] = P (A) [P (B) + P (C) -P (BC)] = P (A) P (B + C) Par conséquent, A et B + C sont indépendants.