Comment prouver qu'un événement se produit à l'infini souvent (presque sûrement)?

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Exercice: il y a un dé à 6 faces et une pièce biaisée qui a une probabilité p> 0 de monter sur chaque lancer. Le dé est lancé à l'infini souvent, et chaque fois que vous lancez un 6, vous lancez ensuite la pièce. Prouvez qu'avec la probabilité 1, vous lancez des "têtes" infiniment souvent.

Maintenant, je reçois cette question intuitivement; les lancers infinis des dés signifient des occurrences infinies de chaque nombre sur le dé, y compris 6, ce qui signifie que la pièce sera également retournée un nombre infini de fois et puisqu'il y a une chance garantie que les têtes soient un résultat, nous obtiendrons également un nombre infini de têtes.

Je ne sais pas comment exprimer cela en notation mathématique cependant et j'espère que quelqu'un ici pourra m'aider.

FaxDogTitanicSoccer
la source
Que savez-vous déjà que vous pouvez utiliser? Par exemple, avez-vous déjà établi que le nombre de têtes apparaissant dans une infinité de tours d'une pièce biaisée sera infiniment presque sûrement?
whuber
Non, cela doit encore être établi. J'ai essayé d'utiliser la distribution binomiale car n va à l'infini mais ça ne mène nulle part ...
FaxDogTitanicSoccer
Je crois que c'est une application du résultat inverse du lemme Borel-Cantelli ... en.wikipedia.org/wiki/Borel%E2%80%93Cantelli_lemma Est-ce que cela aide?
RayVelcoro

Réponses:

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L'espace échantillon se compose de sept résultats possibles: "1" à "5" sur le dé, "6" et "queues", et "6" et "têtes". Abrévions-les commeΩ={1,2,3,4,5,6T,6H}.

Les événements seront générés par les atomes {1},{2},,{6H} et donc tous les sous-ensembles de Ω sont mesurables.

La mesure de probabilité Pest déterminé par ses valeurs sur ces atomes. Les informations contenues dans la question, ainsi que l'hypothèse (raisonnable) que le tirage au sort est indépendant du lancer de dé, nous indiquent que ces probabilités sont telles que données dans ce tableau:

OutcomeProbability1162163164165166T1p66Hp6

Une séquence de réalisations indépendantes de X est une séquence (ω1,ω2,,ωn,) dont tous les éléments sont en Ω. Appelons l'ensemble de toutes ces séquencesΩ. Le problème fondamental réside ici dans le traitement de séquences infinies . L'idée motivante derrière la solution suivante est de continuer à simplifier le calcul de probabilité jusqu'à ce qu'il puisse être réduit au calcul de la probabilité d'un événement fini . Cela se fait par étapes.

Premièrement, pour discuter des probabilités, nous devons définir une mesure sur Ω qui fait des événements comme "6H se produit à l'infini souvent "en ensembles mesurables. Cela peut être fait en termes d'ensembles" de base "qui n'impliquent pas une spécification infinie de valeurs. Puisque nous savons comment définir les probabilités Pnsur l'ensemble des séquences finies de longueurn, Ωn, définissons "l'extension" de tout élément mesurable EΩn se composer de toutes les séquences infinies ωΩ qui ont un élément de E comme préfixe:

E={(ωi)Ω|(ω1,,ωn)E}.

La plus petite algèbre sigma sur Ω qui contient tous ces ensembles est celui avec lequel nous travaillerons.

La mesure de probabilité P sur Ω est déterminé par les probabilités finies Pn. Autrement dit, pour tousn et tout EΩn,

P(E)=Pn(E).

(Les déclarations précédentes sur l'algèbre sigma sur Ω et la mesure P sont des moyens élégants de réaliser ce qui équivaudra à limiter les arguments.)

Après avoir géré ces formalités, nous pouvons faire les calculs. Pour commencer, nous devons établir qu'il est même logique de discuter de la "probabilité" de6Hse produisant infiniment souvent. Cet événement peut être construit comme l'intersection d'événements de type "6H se produit au moins n fois ", pour n=1,2,. Parce qu'il s'agit d'une intersection dénombrable d'ensembles mesurables, il est mesurable, donc sa probabilité existe.

Deuxièmement, nous devons calculer cette probabilité de 6Hse produisant infiniment souvent. Une façon consiste à calculer la probabilité de l'événement complémentaire: quelle est la chance que6Hne se produit que plusieurs fois? Cet evènementE sera mesurable, car c'est le complément d'un ensemble mesurable, comme nous l'avons déjà établi. E peut être partitionné en événements En de la forme "6H se produit exactement n fois ", pour n=0,1,2,. Puisqu'il n'y en a que beaucoup, la probabilité deE sera la somme (dénombrable) des probabilités de la En. Quelles sont ces probabilités?

Encore une fois, nous pouvons faire une partition: En se divise en événements En,N de la forme "6H se produit exactement n fois au rouleau Net ne se reproduisent plus jamais. "Ces événements sont disjoints et dénombrables, donc tout ce que nous avons à faire (encore!) est de calculer leurs chances et de les additionner. Mais finalement nous avons réduit le problème à un calcul fini :P(En,N)n'est pas plus grand que la chance de tout événement fini de la forme "6H se produit pour la nth temps au rouleau N et ne se produit pas entre les rouleaux N et M>N"Le calcul est facile car nous n'avons pas vraiment besoin de connaître les détails: à chaque fois M augmente de 1, la chance - quelle qu'elle soit - est encore multipliée par la chance que 6H n'est pas roulé, ce qui est 1-p/6. On obtient ainsi une séquence géométrique de rapport communr=1-p/6<1. Quelle que soit la valeur de départ, elle devient arbitrairement petiteM devient grand.

(Remarquez que nous n'avions pas besoin de prendre une limite de probabilités: il nous suffisait de montrer que la probabilité de En,N est délimité au-dessus par des nombres qui convergent vers zéro.)

par conséquent P(En,N) ne peut avoir aucune valeur supérieure à 0, d'où il doit être égal 0. En conséquence,

P(En)=N=0P(En,N)=0.

Où sommes-nous? Nous venons d'établir que pour toutn0, la chance d'observer exactement n résultats de 6Hest nul. En additionnant tous ces zéros, nous concluons que

P(E)=n=0P(En)=0.
C’est la chance que 6Hne se produit que plusieurs fois. Par conséquent, la chance que6H se produit infiniment de fois est 1-0=1, QED .

Chaque énoncé du paragraphe précédent est si évident qu'il est intuitivement trivial. L'exercice de démontrer ses conclusions avec une certaine rigueur, en utilisant les définitions des algèbres sigma et des mesures de probabilité, aide à montrer que ces définitions sont les bonnes pour travailler avec des probabilités, même lorsque des séquences infinies sont impliquées.

whuber
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7

Vous avez deux belles réponses à la question en utilisant des principes de probabilité de base. Voici deux théorèmes qui vous aident à répondre rapidement à cette question dans des situations où de telles solutions sont appropriées:

La loi forte des grands nombres (SLLN) vous indique que pour les variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées avec une moyenne finie, la moyenne de l'échantillon converge presque sûrement vers la vraie moyenne.

Le deuxième lemme de Borel-Cantelli (BC2) vous dit que si la somme des probabilités d'une séquence d'événements indépendants est infinie, alors infiniment beaucoup de ces événements se produiront presque sûrement.

Voici comment cela répond à votre question en utilisant SLLN:

Laisser Ouije prenez la valeur 1 si vous obtenez 6 et retournez les têtes à l'essai jeet zéro sinon. alorsOuije est une variable aléatoire de Bernoulli avec une probabilité de succès θ: =p/6>0. Par le SLLN,je=1nOuije/nθpresque sûrement. Mais alors nous devons avoirje=1nOuije c'est sûrement ce que nous voulions montrer.

Voici comment cela répond à votre question en utilisant BC2:

Laisser Eje être le cas où vous roulez 6 et retournez les têtes à l'essai je. alorsP(Eje)=p/6>0, pour chaque je, et par conséquent je=1nP(Eje). Ainsi, par BC2, un nombre infini d'événementsEje va arriver presque sûrement, c'est ce que nous voulions montrer.

J'insiste sur le fait que ces deux réponses nécessitent beaucoup de machinerie cachée dans deux théorèmes, et toute personne intéressée à répondre à cette question et à des questions similaires devra décider si elles sont appropriées.

ekvall
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2
+1 Ces remarques établissent des liens très clairs avec des résultats standard et importants.
whuber
1

Sans s'appuyer sur aucune sorte de théorie de probabilité avancée comme dans la réponse de RayVelcoro, on pourrait procéder comme suit. Laisserjej dénotent l'événement où les têtes finales ont été atteintes le jelancer du dé. Ensuite, par additivité dénombrable, la probabilité d'un nombre fini de têtes est

j=0P(jej)=?0.
Il suffit maintenant de montrer que P(jej)=0 pour tous j. Pour ce faire, laissezUNEj,n dénotent l'événement "après n dés, la dernière tête est survenue le je roll ". Maintenant, clairement jejUNEj,n pour tous n, et donc P(jej)P(UNEj,n); prendren voir ça P(jej)limnP(UNEj,n)=0. P(UNEj,n) peut être calculé directement de manière évidente (c'est la probabilité de réussite suivie de n-j-1 échecs par indépendance).

(EDIT: Cela peut être plus ou moins équivalent à la réponse de @whuber, mais avec un peu moins de formalité / détail, car je suppose que OP n'est pas dans un cadre théorique de mesure.)

gars
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