Que pouvons-nous dire de la population moyenne à partir d’un échantillon de 1?

Je me demande ce que nous pouvons dire, le cas échéant, sur la moyenne de la population, quand tout ce que j’ai, c’est une seule mesure, (taille de l’échantillon de 1). Évidemment, nous aimerions avoir plus de mesures, mais nous ne pouvons pas les obtenir.y $\mu$$y_1$

Il me semble que puisque la moyenne de l'échantillon, , est trivialement égale à , alors . Cependant, avec une taille d'échantillon de 1, la variance de l'échantillon n'est pas définie et notre confiance dans l'utilisation de comme estimateur de est également non définie, n'est-ce pas? Y aurait-il un moyen de restreindre notre estimation de ? y1E[ ˉ y ]=E[y1]=μ ˉ y μ$\bar{y}$$y_1$$E[\bar{y}]=E[y_1]=\mu$$\bar{y}$$\mu$$\mu$

Voici un tout nouvel article sur cette question pour le cas Poisson, adoptant une approche pédagogique intéressante:

Andersson. Per Gösta (2015). Une approche en salle de classe pour la construction d'un intervalle de confiance approximatif d'une moyenne de Poisson utilisant une observation. The Statistician américain , 69 (3), 160-164, DOI: 10.1080 / 00031305.2015.1056830 .

Si la population est connue pour être normale, un intervalle de confiance de 95% basé sur une seule observation est donné parx ± 9,68 | x $x$

Ceci est discuté dans l'article "Un intervalle de confiance effectif pour la moyenne avec des échantillons de tailles un et deux", de Wall, Boen et Tweedie, The Statistician américain , mai 2001, vol. 55, n ° 2 . ( pdf )

Bien sûr il y a. Utilisez un paradigme bayésien . Il est fort probable que vous ayez au moins une idée de ce que pourrait être - par exemple, que cela ne peut pas être physiquement négatif, ou qu'il ne peut évidemment pas dépasser 100 (peut-être mesurez-vous la hauteur des membres de votre équipe de football des écoles secondaires locales en pieds). Mettez un préalable sur cela, mettez-le à jour avec votre observation solitaire, et vous aurez un merveilleux postérieur.$\mu$

Un petit exercice de simulation pour illustrer si la réponse de @soakley fonctionne:

# Set the number of trials, M
M=10^6
# Set the true mean for each trial
mu=rep(0,M)
# Set the true standard deviation for each trial
sd=rep(1,M)
# Set counter to zero
count=0
for(i in 1:M){
 # Control the random number generation so that the experiment is replicable 
 set.seed(i)
 # Generate one draw of a normal random variable with a given mean and standard deviation
 x=rnorm(n=1,mean=mu[i],sd=sd[i])
 # Estimate the lower confidence bound for the population mean
 lower=x-9.68*abs(x)
 # Estimate the upper confidence bound for the population mean
 upper=x+9.68*abs(x)
 # If the true mean is within the confidence interval, count it in
 if( (lower<mu[i]) && (mu[i]<upper) ) count=count+1
}
# Obtain the percentage of cases when the true mean is within the confidence interval
count_pct=count/M
# Print the result
print(count_pct)
[1] 1

Sur un million d'essais aléatoires, l'intervalle de confiance inclut la moyenne réelle un million de fois, c'est-à-dire toujours . Cela ne devrait pas se produire si l'intervalle de confiance était de 95% .

La formule ne semble donc pas fonctionner ... Ou ai-je commis une erreur de codage?

Edit: le même résultat empirique est valable lorsqu’on utilise ; cependant, il est pour - donc très proche de l’intervalle de confiance de 95%.0.950097 ≈ 0.95 ( μ , σ ) = ( 1000 , 1000 $(\mu, \sigma)=(1000,1)$
$0.950097 \approx 0.95$$(\mu, \sigma)=(1000,1000)$

Voir Edelman, D (1990) 'Un intervalle de confiance pour le centre d'une distribution unimodale inconnue basée sur un échantillon de taille 1' The American Statistician, Vol 44, n ° 4. Cet article couvre les cas normal et non paramétrique.