Un pas étrange sur une preuve de la distribution des formes quadratiques

9

Le théorème suivant provient de la 7ème édition de " Introduction to Mathematical Statistics " par Hogg, Craig et Mckean et il concerne la condition nécessaire et suffisante pour l'indépendance de deux formes quadratiques de variables normales.

Il s'agit d'un extrait assez long, mais ce que j'aimerais de l'aide, c'est seulement la transition de 9.9.6 à 9.9.7 . J'ai inclus les étapes précédentes juste pour donner l'image globale au cas où un résultat précédent serait implicitement utilisé. Pourriez-vous s'il vous plaît m'aider à comprendre alors pourquoi 9.9.6 et 9.9.7 sont des représentations équivalentes? J'ai essayé de dériver 9.9.7 par moi-même, mais toutes mes tentatives se sont soldées par de la frustration.

La preuve continue après ça mais je n'ai pas d'autres problèmes. Merci d'avance.

entrez la description de l'image ici

entrez la description de l'image ici

JohnK
la source

Réponses:

7

(9.9.6) indique que multipliant ainsi gauche et droite par et , nous obtenons et Je ne vois aucune raison pour intérieur et

AB={Γ11Λ11}Γ11Γ21{Λ22Γ21}=UΓ11Γ21V
UV
UABV=UUΓ11Γ21VV
(UU)1UABV(VV)1=Γ11Γ21
UVdisparaître donc je parierais sur une faute de frappe. Cependant, la conclusion reste la même, à savoir que si et seulement si
Γ11Γ21=0
AB=0
Xi'an
la source
Oui, c'était ma pensée précisément, merci. J'ai regardé la liste des errata de ce livre mais ce n'est pas dessus donc je l'ai trouvé extrêmement déroutant.
JohnK
7

J'ai contacté l'auteur, le professeur Joseph W. McKean, qui a reconnu l'erreur et a très gentiment proposé la correction. Je le poste ici, au cas où quelqu'un d'autre étudiant seul en aurait besoin.


Après (9.9.6), écrivez:

Soit la matrice du premier ensemble d'accolades. Notez que a le rang de colonne complet, donc son noyau est nul; c'est-à-dire que son noyau est composé du vecteur . Soit la matrice dans le deuxième ensemble d'accolades. Notez que a un rang complet, donc le noyau de est nul.UU0VVV

Pour la preuve alors, supposons . alorsUNEB=0

U[Γ11Γ21V]=0

Étant donné que le noyau de est nul, cela implique que chaque colonne de la matrice entre crochets est . Cela implique queU0

V[Γ21Γ11]=0

De la même manière, comme le noyau de est nul, nous avons . D'où par ...VΓ11Γ21=0(9.9.5)

(et la preuve continue pour l'autre sens)


JohnK
la source