lorsque

Je sais que pour la variable continue . $P[X=x]=0$

Mais je ne peux pas visualiser que si , il y a un nombre infini de possibles . Et aussi pourquoi leurs probabilités deviennent-elles infiniment petites? $P[X=x]=0$ $x$

probability self-study references continuous-data temps
la source

doublon possible de la probabilité conditionnelle de la variable continue

Xi'an

Il y a déjà deux votes pour clore cette question en double. Je ne suis pas d'accord. Il s'agit d'un sujet assez basique, l'un de ceux qui réapparaîtront probablement à l'avenir, donc ce serait bien s'il avait une réponse directe et de haute qualité, afin que nous puissions y faire référence à l'avenir. Le lien fourni par @ Xi'an peut être considéré comme un doublon, mais il est également assez spécifique et difficile à trouver via la recherche. Le lien ne fournit pas non plus de réponse exhaustive, alors que cette menace semble converger vers celle-ci. Je pense qu'il devrait rester ouvert comme référence future.

Tim

Il pourrait être utile de considérer l'inverse de cette situation. Laissez

soit une variable aléatoire et laisser

est un nombre réel positif. Il ne peut y avoir qu'un nombre fini de

pour lequel

, sinon - en additionnant toutes ces probabilités sur des événements disjoints - vous concluriez que la probabilité totale est au moins

, qui dépasse finalement

. (Il s'agit de la propriété archimédienne des nombres réels.) Ce raisonnement utilise seulement trois axiomes

X

$X$

ϵ

$\epsilon$

ω

$\omega$

Pr (X = ω) \geq ϵ

$\Pr(X=\omega)\ge\epsilon$

ϵ + ϵ + \dots

$\epsilon+\epsilon+\cdots$

1

$1$ : les probabilités d'événements disjoints s'ajoutent, la probabilité totale est de

et l'axiome archimédien.

1

$1$

whuber

@Tim Merci, mais j'ai posté cette pensée comme un commentaire, plutôt que comme une réponse, car elle est incomplète: je n'ai pas trouvé un moyen élémentaire d'expliquer ce qui se passe dans la limite comme

. Cela semble nécessiter une certaine connaissance des cardinalités des ensembles infinis.

ϵ \to 0

$\epsilon\to 0$

whuber

@ Xi'an Je suis d'accord, mais le fil que vous avez proposé n'est pas un doublon suffisamment proche. C'est une chose difficile à rechercher. Êtes-vous peut-être au courant d'autres discussions qui dupliquent cette question?

whuber

Réponses:

Les probabilités sont des modèles pour les fréquences relatives des observations. Si un événement est observé qu'il ya eu fois sur essais, sa fréquence relative est la $A$ $N_A$ $N$ et on pense généralement que la valeur numérique du rapport ci-dessus est une approximation proche delorsqueest "grand"où ce que l'on entend par "grand" est préférable de laisser à l'imagination (et la crédulité) du lecteur .

relative frequency of (A) = \frac{N_{A}}{N}

$\text{relative frequency of }(A) = \frac{N_A}{N}$

P (A)

$P(A)$ $N$

Or, il a été observé que si notre modèle de est celui d'une variable aléatoire continue, alors les échantillons de sont nombres distincts. Ainsi, la fréquence relative d'un nombre spécifique (ou, plus pédantiquement, l'événement ) est soit $X$ $X$ $\{x_1, x_2, \ldots, x_N\}$ $N$ $x$ $\{X = x\}$ si l'un desa la valeur, ou $\frac 1N$ $x_i$ $x$ si tous lessont différents de. Si un lecteur plus sceptique recueilleéchantillonssupplémentaires , la fréquence relative de l'événement est soit $\frac 0N$ $x_i$ $x$ $N$ $\{X=x\}$ ou continue de profiter de la valeur $\frac{1}{2N}$ . Ainsi, on est tenté de deviner quedoit recevoir la valeurcar c'est une bonne approximation de la fréquence relative observée. $\frac 0N$ $P\{X = x\}$ $0$

Remarque: l'explication ci-dessus est (généralement) satisfaisante pour les ingénieurs et autres intéressés par l'application des probabilités et des statistiques (c'est-à-dire ceux qui croient que les axiomes de probabilité ont été choisis de manière à faire de la théorie un bon modèle de réalité), mais totalement insatisfaisant à beaucoup d'autres. Il est également possible d'aborder votre question d'un point de vue purement mathématique ou statistique et de prouver que doit avoir la valeur chaque fois que $P\{X = x\}$ $0$ $X$ est une variable aléatoire continue via des déductions logiques des axiomes de probabilité, et sans aucune référence à la fréquence relative ou aux observations physiques, etc.

Dilip Sarwate
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+1 "Remarque: l'explication ci-dessus est ... satisfaisante pour ... ceux qui croient que les axiomes de probabilité ont été choisis de manière à faire de la théorie un bon modèle de réalité), mais totalement insatisfaisant ...", dans le phrasé préféré d'Internet, lol.

gung - Réintégrer Monica

$X$

N

$N$ $X$

X

$X$

@ StéphaneLaurent Je pense que les remarques de Dilip sont faites dans un esprit différent. Cette réponse n'est pas un effort pour fournir une démonstration mathématiquement rigoureuse, mais pour fournir une certaine intuition et motivation pour un fait qui intrigue le PO. Je suis intrigué par cette approche car elle a un tel potentiel pour combler le fossé entre la théorie des probabilités discrètes traditionnellement enseignée aux débutants et la théorie générale plus riche des probabilités basée sur la théorie des mesures.

whuber

N = 2

$N=2$

x_{2} is never x_{1}

$x_2 \text{ is never } x_1$

⟺

$\iff$

Pr (X_{2} = x_{1}) = 0

$\Pr(X_2=x_1)=0$

$(\Omega,\mathscr{F},P)$ $X:\Omega\to\mathbb{R}$ $\mu_X$ $(\mathbb{R},\mathscr{B})$ $\mu_X(B)=P\{X\in B\}$ $X$ $\lambda$ $B$ $\lambda(B)=0$ $\mu_X(B)=0$ $f_X:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ $\mu_X(B)=\int_B f(x)\,d\lambda(x)$ $B=\{x_1,x_2,\dots\}$ $\mathbb{R}$ $\lambda$ $\lambda(B)=\lambda\left(\cup_{i\geq 1}\{x_i\}\right)=\sum_{i\geq 1}\lambda(\{x_i\})$

λ ({x_{i}}) = λ (\cap_{k \geq 1} [x_{i}, x_{i} + 1 / k)) \leq λ ([x_{i}, x_{i} + 1 / n)) = \frac{1}{n}, (*)

$\lambda(\{x_i\}) = \lambda\left(\cap_{k\geq 1}[x_i,x_i+1/k)\right) \leq \lambda\left([x_i,x_i+1/n)\right) = \frac{1}{n} \, ,\qquad (*)$

n \geq 1

$n\geq 1$

λ ({x_{i}}) \geq 0

$\lambda(\{x_i\})\geq 0$

(*)

$(*)$

n \geq 1

$n\geq 1$

λ ({x_{i}}) = 0

$\lambda(\{x_i\})=0$

λ (B) = 0

$\lambda(B)=0$

X

$X$

μ_{X} (B) = P {X \in B} = 0

$\mu_X(B)=P\{X\in B\}=0$

Zen
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La variable aléatoire continue n'a pas besoin d'être absolument continue (elle pourrait ne pas avoir de densité.)

Zhanxiong

Balivernes. "Variable aléatoire continue" est un nom informel pour "une variable aléatoire qui est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue". Par conséquent, Radon-Nikodym garantit l'existence d'une densité. Une variable aléatoire avec une distribution singulière (par exemple Cantor) est une chose différente. Vous induisez les étudiants potentiels en erreur avec votre faux commentaire.

Zen

X

$X$

Wikipedia n'est pas d'accord avec vous, @Solitary: " Une distribution de probabilité continue est une distribution de probabilité qui a une fonction de densité de probabilité. Les mathématiciens appellent également une telle distribution absolument continue [...]".

amibe dit Réintégrer Monica le

$X$ $F$ $P(X = x) = 0$

$F$ $F(x) = F(x-)$ $x \in \mathbb{R}^1$

P (X = x) = P (X \leq x) - P (X < x) = F (x) - F (x -) = 0.

$P(X = x) = P(X \leq x) - P(X < x) = F(x) - F(x-) = 0.$

Zhanxiong
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X

$X$

X

$X$

Mon ami, cela peut en fait être un contre-exemple de votre propre réponse, pas la mienne. Depuis l'existence d'un tel RV continu singulier , il est nécessaire de distinguer le RV continu absolu et le RV continu singulier , bien que leurs fonctions de distribution soient toutes continues. Égaliser la RV continue et la RV continue absolue est ambigu.

Zhanxiong

Ce n'est pas le cas, mais vous n'entendrez pas, mon ami.

Zen

P (X = x) = 0

$P(X=x)=0$

x

$x$

P (X = x) = 0

$P(X=x)=0$

x

$x$