est une variable aléatoire discrète qui peut prendre des valeurs de . Puisque est une fonction convexe, nous pouvons utiliser l'inégalité de Jensen pour dériver une borne inférieure : Est-il possible de dériver une borne supérieure ?
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Réponses:
Il n'y a pas de limite supérieure.
Intuitivement, si a un support substantiel le long d'une séquence approchant , alors pourrait avoir une attente divergente (arbitrairement grande). Pour montrer qu'il n'y a pas de limite supérieure, tout ce que nous avons à faire est de trouver une combinaison de support et de probabilités qui réalise l'attente souhaitée de . Ci - dessous construit explicitement un tel .X 1 1/(1−X) a X
Supposons (à choisir plus tard) et (également à choisir plus tard). Soit prendre les valeurs avec probabilités . alors0<λ<1 s>1 X
La plage de est l'intervalle , comme l'indique ce graphique partiel:f(s)=ζ(2s)/ζ(s) (0,1)
En sélectionnant telle sorte que , choisissez pour lequel ; c'est-à-dire, . Cela construit un avec toutes les propriétés indiquées.λ 1−a<λ<1 s>1 f(s)=(1−a)/λ a=1−λf(s) X
Considérer
La somme diverge. Par conséquent, aucune limite supérieure n'est compatible avec les conditions énoncées.
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