Pourquoi dans la définition de la normalité asymptotique?

Une séquence d'estimateurs pour un paramètre est asymptotiquement normale si . ( source ) On appelle alors la variance asymptotique de . Si cette variance est égale à la borne de Cramer-Rao , nous disons que l'estimateur / séquence est asymptotiquement efficace. $U_n$ $\theta$ $\sqrt{n}(U_n - \theta) \to N(0,v)$ $v$ $U_n$

Question: Pourquoi utilisons-nous en particulier ? $\sqrt{n}$

Je sais que pour la moyenne de l'échantillon, $Var(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$ et donc ce choix le normalise. Mais comme les définitions ci-dessus s'appliquent à plus que la moyenne de l'échantillon, pourquoi choisissons-nous toujours de normaliser par $\sqrt{n}$ .

estimation asymptotics efficiency Aucune idée
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Pour un bon estimateur,

U_{n}

$U_n$ devrait avoir une moyenne

θ

$\theta$ , le paramètre étant estimé, et la variance de

U_{n}

$U_n$ devrait converger vers

0

$0$ , c'est-à-dire que la distribution de

U_{n}

$U_n$ devrait converger vers une distribution dégénérée avec un seul atome à

θ

$\theta$ . Mais il existe de nombreuses manières différentes de

cette convergence, par exemple

U_{n} \sim U (θ - 1 / n, θ + 1 / n)

$U_n \sim U(\theta-1/n,\theta+1/n)$ ou

U_{n} \sim N (θ, v / n)

$U_n\sim N(\theta,v/n)$ etc. Nous souhaitons appliquer le soubriquet asymptotiquement normal dans ce dernier cas, mais pas dans le premier cas.

Dilip Sarwate

Les estimateurs efficaces sont asymptotiquement normaux. en.wikipedia.org/wiki/…

Khashaa

Cette question pourrait-elle être mieux intitulée «normalité asymptotique» plutôt que «efficacité asymptotique»? Il n'est pas clair pour moi où "l'efficacité" devient un aspect substantiel de la question, plutôt que juste le contexte dans lequel la "normalité asymptotique" a été rencontrée.

Silverfish

Il suffit de vérifier une preuve de la normalité asymptotique du MLE! La racine carrée

n

$n$ est de rendre un théorème central limite applicable à une moyenne d'échantillon!

Megadeth

Réponses:

Nous n'avons pas le choix ici. Le facteur de "normalisation", en substance, est un facteur de "stabilisation de la variance à quelque chose de fini", de sorte que l'expression ne doit pas aller à zéro ou à l'infini car la taille de l'échantillon va à l'infini, mais pour maintenir une distribution à la limite.

Il doit donc être ce qu'il doit être dans chaque cas. Bien sûr, il est intéressant de constater que, dans de nombreux cas, il apparaît qu'il doit être . (mais voir aussi le commentaire de @ whuber ci-dessous). $\sqrt n$

Un exemple standard où le facteur de normalisation doit être , plutôt que est quand nous avons un modèle $n$ $\sqrt n$

y_{t} = β y_{t - 1} + u_{t}, y_{0} = 0, t = 1, . . ., T

$y_t = \beta y_{t-1} + u_t, \;\; y_0 = 0,\; t=1,...,T$

avec bruit blanc, et nous estimons l'inconnu par les moindres carrés ordinaires. $u_t$ $\beta$

S'il se trouve que la vraie valeur du coefficient est , alors l'estimateur OLS est cohérent et converge au taux habituel . $|\beta|<1$ $\sqrt n$

Mais si à la place la vraie valeur est (c'est-à-dire que nous avons en réalité une marche aléatoire pure), alors l'estimateur OLS est cohérent mais convergera "plus rapidement", au taux (on l'appelle parfois un estimateur "supercohérent" car, je suppose, tant d'estimateurs convergent au taux ). Dans ce cas, pour obtenir son (non normale) distribution asymptotique, nous avons à l' échelle par (si nous escaladons que par l'expression ira à zéro). Hamilton ch 17 a les détails. $\beta=1$ $n$ $\sqrt n$
$(\hat \beta - \beta)$ $n$ $\sqrt n$

Alecos Papadopoulos
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Alecos, pourriez-vous clarifier ce qui est estimé dans le modèle (où je suppose que vous vouliez dire et les observations sont souscrites etc.). Est-ce que dans le modèle l'estimateur OLS converge au taux pour mais quand convergence est au taux , ou est-ce le cas que dans le modèle la convergence est toujours au taux ? En bref, quelle est la signification de la déclaration "et

y_{t} = y_{t - 1} + u_{t}, u_{0} = 0

$y_t = y_{t-1}+u_t, u_0=0$

y_{0} = 0

$y_0=0$

1, 2,

$1, 2,$

y_{t} = β y_{t - 1} + u_{t}

$y_t = \beta y_{t-1}+u_t$

\hat{β}

$\hat{\beta}$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

| β | < 1

$|\beta| < 1$

β = 1

$\beta=1$

n

$n$

y_{t} = β y_{t - 1} + u_{t}

$y_t = \beta y_{t-1}+u_t$

n

$n$

β = 1

$\beta=1$ , c'est-à-dire une marche aléatoire pure. "?

Dilip Sarwate

@DilipSarwate Merci. Mis à jour. Je pense que c'est clair maintenant.

Alecos Papadopoulos

(+1) Il pourrait être utile et instructif de noter que le choix de (ou ou ce qui peut être approprié) n'est pas unique. À sa place, vous pouvez utiliser n'importe quelle fonction pour laquelle la valeur limite de est égale à l'unité. Ce n'est que dans ce sens plus large que "doit être ce qu'il doit être."

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

n

$n$

f (n)

$f(n)$

f (n) / \sqrt{n}

$f(n)/\sqrt{n}$

f

$f$

whuber

@Khashaa Le PO a posé des questions sur l'efficacité asymptotique, mais au cours du processus, il a été révélé que le PO pouvait avoir la mauvaise impression des facteurs de «normalisation». C'est une question plus fondamentale, j'ai donc choisi de couvrir cela dans ma réponse. Rien n'est dit dans ma réponse sur l'efficacité.

Alecos Papadopoulos

Il convient peut-être de mentionner dans votre réponse que le cas avec

plutôt que

n

$n$

est appelé "super-cohérent"? Actuellement, la seule autre mention de "supercohérent" sur CV que la fonction de recherche du site peut récupérer estune autre par Alecos! Je pense que c'est une bonne idée de rendre les questions et les réponses plus conviviales.

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

Silverfish

Vous étiez sur la bonne voie avec un échantillon d'intuition de la variance moyenne. Réorganisez la condition:

\sqrt{n} (U_{n} - θ) \to N (0, v)

$\sqrt{n}(U_n - \theta) \to N(0,v)$

(U_{n} - θ) \to \frac{N (0, v)}{\sqrt{n}}

$(U_n - \theta) \to \frac{N(0,v)}{\sqrt{n}}$

U_{n} \to N (θ, \frac{v}{n})

$U_n \to N(\theta,\frac{v}{n})$

La dernière équation est informelle . Cependant, c'est en quelque sorte plus intuitif: vous dites que l'écart de rapport à ressemble davantage à une distribution normale lorsque augmente. La variance diminue, mais la forme se rapproche de la distribution normale. $U_n$ $\theta$ $n$

$n$

Aksakal
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Vous pourriez expliquer comment vous procédez aux "réarrangements". Comme les propriétés que vous appliquez.

mavavilj