Estimateur du maximum de vraisemblance pour un minimum de distributions exponentielles

Je suis coincé sur la façon de résoudre ce problème.

Donc, nous avons deux séquences de variables aléatoires, et Y i pour i = 1 , . . . , n . Maintenant, X et Y sont des distributions exponentielles indépendantes avec les paramètres λ et μ . Cependant, au lieu d'observer X et Y , on observe à la place Z et W .$X_i$$Y_i$$i=1,...,n$$X$$Y$$\lambda$$\mu$$X$$Y$$Z$$W$

et W = 1 si Z i = X i et 0 si Z i = Y i . Je dois trouver-formes fermées pour les estimateurs de maximum de vraisemblance de λ et μ sur la base de Z et W . De plus, nous devons montrer qu'il s'agit de maxima mondiaux.$Z=\min(X_i,Y_i)$$W=1$$Z_i=X_i$$Z_i=Y_i$$\lambda$$\mu$$Z$$W$

Maintenant, je sais que le minimum de deux exponentielles indépendantes est lui-même exponentiel, avec le taux égal à la somme des taux, donc nous savons que est exponentiel avec le paramètre λ + μ . Ainsi , notre estimateur de vraisemblance maximale est: λ + μ = ˉ Z .$Z$$\lambda+\mu$$\hat{\lambda}+\hat{\mu}=\bar{Z}$

Mais je suis coincé avec où aller d'ici. Je sais que est une distribution de Bernoulli avec le paramètre p = P ( Z i = X i ) , mais je ne sais pas comment procéder pour convertir cela en une déclaration sur l'un des paramètres. Par exemple, qu'est-ce que le MLE ˉ W estimerait en termes de λ et / ou μ ? Je comprends que si Z i = X i , alors μ = 0 , mais j'ai du mal à trouver comment trouver une déclaration algébrique ici.$W$$p=P(Z_i=X_i)$$\bar{W}$$\lambda$$\mu$$Z_i=X_i$$\mu=0$

Mise à jour 1: J'ai dit dans les commentaires pour calculer la probabilité pour la distribution conjointe de et W .$Z$$W$

Donc où p = P ( Z i = X i ) . Correct? Je ne sais pas comment dériver autrement une distribution conjointe dans ce cas, puisque Z et W ne sont pas indépendants.$f(Z,W)=f(Z|W=1)\cdot p+f(Z|W=0)\cdot (1-p)$$p=P(Z_i=X_i)$$Z$$W$

Cela nous donne donc, , par la définition de W ci-dessus. Mais maintenant quoi? Cela ne me mène nulle part. Si je passe par les étapes de calcul de la probabilité, j'obtiens: (en utilisant m et n comme tailles d'échantillon pour chaque partie du mélange ...)$f(Z_i,W_i)=p\lambda e^{-\lambda z_i}+(1-p)\mu e^{-\mu z_i}$$W$$m$$n$

$L(\lambda,\mu)=p^m\lambda^m e^{-\lambda \sum{z_i}}+(1-p)^n\mu^n e^{-\mu \sum{z_i}}$

$\log L=m\log p+m\log\lambda-\lambda \sum{z_i}+n\log(1-p)+n\log\mu-\mu \sum{z_i}$

Si je prends les dérivées partielles, cela me dit que mon MLE estime pour et μ ne sont que la moyenne des Z est conditionnelle à W . C'est,$\lambda$$\mu$$Z$$W$

$\hat{\lambda}=\frac{\sum{Z_i}}{m}$

$\hat{\mu}=\frac{\sum{Z_i}}{n}$

et

$\hat{p}=\frac{m}{n+m}$

Je n'ai pas assez de points à commenter, je vais donc écrire ici. Je pense que le problème que vous postez peut être considéré dans une perspective d'analyse de survie, si vous considérez ce qui suit:

: vrai temps de survie,$X_i$

: temps de censure,$Y_i$

Les deux ont une distribution exponentielle avec et Y indépendants. Alors Z i est le temps de survie observé et W i l'indicateur de censure.$X$$Y$$Z_i$$W_i$

Si vous connaissez l'analyse de survie, je pense que vous pouvez commencer à partir de ce point.

Notes: Une bonne source: Analyse des données de survie par DRCox et D.Oakes

Voici un exemple: En supposant que le pdf de la distribution du temps de survie est . Alors la fonction de survie est: S ( t ) = e - ρ t . Et la log-vraisemblance est:$f(t)=\rho e^{-\rho t}$$S(t)=e^{-\rho t}$

$\mathcal{l}= \sum_u \log f(z_i) + \sum_c \log S(z_i)$

$u$$c$

$f(t)=h(t)S(t)$

$\mathcal{l}= \sum_u \log h(z_i) + \sum \log S(z_i)$

$\mathcal{l}= \sum_u \log \rho - \rho \sum z_i$

$\hat{\rho}$$\rho$

$\hat{\rho}=d/\sum z_i$$d$$W_i=1$