Estimateur du maximum de vraisemblance pour un minimum de distributions exponentielles

10

Je suis coincé sur la façon de résoudre ce problème.

Donc, nous avons deux séquences de variables aléatoires, et Y i pour i = 1 , . . . , n . Maintenant, X et Y sont des distributions exponentielles indépendantes avec les paramètres λ et μ . Cependant, au lieu d'observer X et Y , on observe à la place Z et W .XiYii=1,...,nXYλμXYZW

et W = 1 si Z i = X i et 0 si Z i = Y i . Je dois trouver-formes fermées pour les estimateurs de maximum de vraisemblance de λ et μ sur la base de Z et W . De plus, nous devons montrer qu'il s'agit de maxima mondiaux.Z=min(Xi,Yi)W=1Zi=XiZi=YiλμZW

Maintenant, je sais que le minimum de deux exponentielles indépendantes est lui-même exponentiel, avec le taux égal à la somme des taux, donc nous savons que est exponentiel avec le paramètre λ + μ . Ainsi , notre estimateur de vraisemblance maximale est: λ + μ = ˉ Z .Zλ+μλ^+μ^=Z¯

Mais je suis coincé avec où aller d'ici. Je sais que est une distribution de Bernoulli avec le paramètre p = P ( Z i = X i ) , mais je ne sais pas comment procéder pour convertir cela en une déclaration sur l'un des paramètres. Par exemple, qu'est-ce que le MLE ˉ W estimerait en termes de λ et / ou μ ? Je comprends que si Z i = X i , alors μ = 0 , mais j'ai du mal à trouver comment trouver une déclaration algébrique ici.Wp=P(Zi=Xi)W¯λμZi=Xiμ=0

Mise à jour 1: J'ai dit dans les commentaires pour calculer la probabilité pour la distribution conjointe de et W .ZW

Donc p = P ( Z i = X i ) . Correct? Je ne sais pas comment dériver autrement une distribution conjointe dans ce cas, puisque Z et W ne sont pas indépendants.f(Z,W)=f(Z|W=1)p+f(Z|W=0)(1p)p=P(Zi=Xi)ZW

Cela nous donne donc, , par la définition de W ci-dessus. Mais maintenant quoi? Cela ne me mène nulle part. Si je passe par les étapes de calcul de la probabilité, j'obtiens: (en utilisant m et n comme tailles d'échantillon pour chaque partie du mélange ...)f(Zi,Wi)=pλeλzi+(1p)μeμziWmn

L(λ,μ)=pmλmeλzi+(1p)nμneμzi

logL=mlogp+mlogλλzi+nlog(1p)+nlogμμzi

Si je prends les dérivées partielles, cela me dit que mon MLE estime pour et μ ne sont que la moyenne des Z est conditionnelle à W . C'est,λμZW

λ^=Zim

μ^=Zin

et

p^=mn+m

Ryan Simmons
la source
1
Après avoir répondu à une question MLE similaire aujourd'hui, puis-je vous orienter vers cette solution pour quelques idées? La relation entre les questions est que vos données se décomposent également naturellement en deux groupes disjoints: ceux où et ceux où W = 1 . Tout se résume à écrire la probabilité d'une observation de la forme ( Z , W ) = ( z , 0 ) ; la symétrie entre X et Y , μ et λ , produit immédiatement la vraisemblance des données de la forme (W=0W=1(Z,W)=(z,0)XYμλ et puis vous êtes parti et en cours d'exécution. (z,1)
whuber
Ne vous précipitez pas pour écrire le maximum de vraisemblance! D'abord, exprimer la distribution conjointe de , puis déduire la vraisemblance associée à l'échantillon de ( Z i , W ) = i ) , qui se trouve être de forme fermée grâce à l'hypothèse exponentielle. Alors et seulement alors vous pouvez essayer de maximiser la fonction et donc d'en déduire le maximum de vraisemblance. (Z,W)(Zi,W)=i)
Xi'an
@whuber: (+1) c'est assez simple et implique la séparation entre les et les ( z i , 0 ) mais les deux groupes impliquent les deux(zi,1)(zi,0) et λ , car ils apportent des informations sur lesdeux X i et Y i , puisque W i = I ( X i < Y i ) . μλ XiYiWi=I(Xi<Yi)
Xi'an
2
@ Xi'an C'est vrai - et les parallèles avec l'exemple de la théorie normale que je relie pour continuer à tenir, parce que les deux groupes fournissent des informations sur le paramètre commun (l'échelle), dont l'estimation impliquera ainsi la "mise en commun" des données de les groupes. Ici, nous verrons que ˉ W nous dit comment l'estimation de λ + μ (le taux, ou échelle inverse, pour Z ) doit être répartie en estimations distinctes de λ et μ . σW¯λ+μZλμ
whuber
J'ai lu l'autre fil, whuber, mais honnêtement, je ne comprends pas comment l'appliquer à cet exemple. Z et W ne sont pas indépendants, alors comment puis-je dériver la distribution conjointe?
Ryan Simmons

Réponses:

1

Je n'ai pas assez de points à commenter, je vais donc écrire ici. Je pense que le problème que vous postez peut être considéré dans une perspective d'analyse de survie, si vous considérez ce qui suit:

: vrai temps de survie,Xi

: temps de censure,Yi

Les deux ont une distribution exponentielle avec et Y indépendants. Alors Z i est le temps de survie observé et W i l'indicateur de censure.XYZiWi

Si vous connaissez l'analyse de survie, je pense que vous pouvez commencer à partir de ce point.

Notes: Une bonne source: Analyse des données de survie par DRCox et D.Oakes

Voici un exemple: En supposant que le pdf de la distribution du temps de survie est . Alors la fonction de survie est: S ( t ) = e - ρ t . Et la log-vraisemblance est:f(t)=ρeρtS(t)=eρt

l=ulogf(zi)+clogS(zi)

uc

f(t)=h(t)S(t)

l=ulogh(zi)+logS(zi)

l=ulogρρzi

ρ^ρ

ρ^=d/zidWi=1

jujae
la source