Quel ratio de distributions indépendantes donne une distribution normale?

Le rapport de deux distributions normales indépendantes donne une distribution de Cauchy. La distribution t est une distribution normale divisée par une distribution chi carré indépendante. Le rapport de deux distributions khi-deux indépendantes donne une distribution F.

Je recherche un rapport de distributions continues indépendantes qui donne une variable aléatoire normalement distribuée avec une moyenne et une variance ?σ $\mu$$\sigma^2$

Il existe probablement un ensemble infini de réponses possibles. Pouvez-vous me donner certaines de ces réponses possibles? J'apprécierais particulièrement si les deux distributions indépendantes dont le rapport est calculé sont identiques ou au moins ont une variance similaire.

Soit oùEa une distribution exponentielle de moyenne2σ2etZ=±1de probabilité égale. SoitY2=1/$Y_1 = Z \sqrt{E}$$E$$2 \sigma^2$$Z = \pm 1$ oùB∼Beta(0,5,0,5). En supposant que(Z,E,B)sont mutuellement indépendants, alorsY1est indépendant deY2etY1/Y2∼Normal(0,σ2). Nous avons donc$Y_2 = 1 / \sqrt{B}$$B \sim \mbox{Beta}(0.5, 0.5)$$(Z, E, B)$$Y_1$$Y_2$$Y_1 / Y_2 \sim \text{Normal}(0, \sigma^2)$

1. indépendant de Y 2 ;$Y_1$$Y_2$
2. Les deux continus; tel que
3. .$Y_1 / Y_2 \sim \text{Normal}(0, \sigma^2)$

Je n'ai pas compris comment obtenir un . Il est plus difficile de voir comment procéder car le problème se réduit à trouver A et B qui sont indépendants tels que A - B $\text{Normal}(\mu, \sigma^2)$$A$$B$ qui est un peu plus difficile que de faireA/B∼Normal(0,1)pourAetBindépendants.

$$\frac{A - B \mu}{B} \sim \text{Normal}(0, 1)$$ $A/B \sim \text{Normal}(0,1)$$A$$B$

J'apprécierais particulièrement si les deux distributions indépendantes dont le ratio est calculé sont les mêmes 

Il n'y a aucune possibilité qu'une variable normale puisse être écrite comme un rapport de deux variables indépendantes avec la même distribution ou famille de distribution (comme la distribution F qui est le rapport de deux variables distribuées $\chi^2$ échelonnées ou la distribution de Cauchy qui est le rapport de deux variables distribuées normales avec une moyenne nulle).

• Supposons que: pour tout $A, B \sim F$ où $F$ est la même distribution ou famille de distribution, nous avons

  $$X = \frac{A}{B} \sim N(\mu,\sigma^2)$$

• Nous devons également être capables d'inverser $A$ et $B$ (si une variable normale peut être écrite comme un rapport de deux variables indépendantes avec la même distribution ou famille de distribution, alors l'ordre peut être inversé)

  $$\frac{1}{X} = \frac{B}{A} \sim N(\mu,\sigma^2)$$

• Mais si $X \sim N(\mu,\sigma^2)$ alors $X^{-1} \sim N(\mu,\sigma^2)$ ne peut pas être vrai (l'inverse d'une variable distribuée normale n'est pas une autre variable distribuée normale).

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Conclusion plus large: si les variables d'une famille de distribution $\mathcal{F}_X$ peuvent être écrites comme un rapport de variables dans une autre famille de distribution $\mathcal{F}_Y$ alors il faut que la famille $\mathcal{F}_X$ soit fermée en prenant la réciproque (c'est-à-dire pour toute variable dont la distribution est en $\mathcal{F}_X$ la distribution de son réciproque sera également dans $\mathcal{F}_X$ ).

Par exemple, l'inverse d'une variable distribuée de Cauchy est également distribué par Cauchy. L'inverse d'une variable F-distribuée est également F-distribuée.

• Ce «si» n'est pas un «si», l'inverse n'est pas vrai. Lorsque $X$ et $1/X$ sont dans la même famille de distribution, il peut ne pas toujours être possible d'écrire comme une distribution de rapport avec le nominateur et le dénominateur de la même famille de distribution.

  Contre-exemple: on peut imaginer des familles de distribution pour lesquelles pour tout $X$ de la famille on a $1/X$ dans la même famille mais on n'a pas $P(X=1)=0$ . Cela contredit le fait que pour une distribution de ratios où le dénominateur et le nominateur ont la même distribution, nous devons avoir $P(X=1) \neq 0$ (et quelque chose de similaire peut être exprimé pour des distributions continues comme l'intégrale le long de la ligne X / Y = 1 dans un nuage de points de X, Y a une densité non nulle lorsque X et Y ont la même distribution et sont indépendants).

Eh bien, en voici un mais je ne le prouverai pas, je ne le montrerai qu'en simulation.

Faites deux distributions bêta avec des paramètres de grande forme égaux (ici, n = 40 , 000 ), soustrayez 1/2 des valeurs x de l'un d'entre eux et appelez-le "numérateur". Cela nous donne un PDF qui a une plage maximale de ( - $\text{Beta}(200,200)$$n=40,000$$x$, mais parce que les paramètres de forme sont si grands, nous n'atteignons jamais les valeurs maximales de la plage. Voici un histogramme d'unn=40,000« numérateur » $\left(-\frac{1}{2},\,\frac{1}{2}\right)$$n=40,000$

Ensuite, nous appelons la deuxième distribution bêta "dénominateur" sans soustraire quoi que ce soit, donc elle a la plage de distribution bêta habituelle de et l'une d'elles ressemble à ceci$(0,1)$

Encore une fois, parce que les formes sont si grandes, nous n'abordons pas la plage maximale avec les valeurs. Ensuite, nous traçons le numérateur de quotient sous forme de PDF avec la distribution normale superposée.$\frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}$

Maintenant, dans ce cas, le résultat de la distribution normale a et les tests de normalité qui ressemblent à ceci$\mu \to -0.0000204825,\sigma \to 0.0501789$

$$\left( \begin{array}{ccc} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \text{Anderson-Darling} & 0.799786 & 0.481181 \\ \text{Baringhaus-Henze} & 1.40585 & 0.0852017 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.123145 & 0.482844 \\ \text{Jarque-Bera ALM} & 4.48103 & 0.106404 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00452328 & 0.386335 \\ \text{Kuiper} & 0.00798063 & 0.109127 \\ \text{Mardia Combined} & 4.48103 & 0.106404 \\ \text{Mardia Kurtosis} & 1.53849 & 0.123929 \\ \text{Mardia Skewness} & 2.09399 & 0.147879 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 134.353 & 0.571925 \\ \text{Watson }U^2 & 0.113831 & 0.211187 \\ \end{array} \right)$$

En d'autres termes, nous ne pouvons pas prouver que le rapport n'est pas normal, même en essayant très fort de le faire.

Maintenant pourquoi? Intuition de ma part, que j'ai en surabondance. Preuve laissée au lecteur, le cas échéant (peut-être via la limite de la méthode des moments, mais là encore, ce n'est que de l'intuition).

$\text{Beta}(20,20)$$\text{Beta}(20,20)-\frac{1}{2}$$t$$\mu \to -0.000251208,\sigma \to 0.157665,\text{df}\to 33.0402$

$$\begin{array}{l|ll} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \hline \text{Anderson-Darling} & 0.275262 & 0.955502 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.0351108 & 0.956524 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00320936 & 0.804486 \\ \text{Kuiper} & 0.00556501 & 0.657146 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 145.077 & 0.323168 \\ \text{Watson }U^2 & 0.0351042 & 0.878202 \\ \end{array}$$

$\dfrac{\mathcal{N}(0,1)}{\mathcal{N}(10,1/1000)}\to$$t$ $\mu \to -0.0000535722,\sigma \to 0.0992765,\text{df}\to 244.154$

$$\left( \begin{array}{ccc} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \text{Anderson-Darling} & 0.501677 & 0.745102 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.0696824 & 0.753515 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00355688 & 0.692225 \\ \text{Kuiper} & 0.00608382 & 0.501133 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 142.88 & 0.370552 \\ \text{Watson }U^2 & 0.0603207 & 0.590369 \\ \end{array} \right)$$

$X_1^G,X_2^G$$X^C_{\gamma}$

$$\frac{X_1^G}{X_2^G} = X^C_{\gamma}$$

$X^C_{\gamma}\sim1/X^C_{1/\gamma}$$\gamma$

$$X_1^G= X_2^G/X^C_{1/\gamma}$$

$\mu$$\mu$$\sigma$$\gamma\rightarrow1/\gamma$