Attente d'un Gamma carré

Si une distribution Gamma est paramétrée avec $\alpha$ et $\beta$ , alors:

$$E(\Gamma(\alpha, \beta)) = \frac{\alpha}{\beta}$$

Je voudrais calculer l'espérance d'un Gamma carré, c'est-à-dire:

$$E(\Gamma(\alpha, \beta)^2) = ?$$

Je pense que c'est:

$$E(\Gamma(\alpha, \beta)^2) = \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^2 + \frac{\alpha}{\beta^2}$$

Est-ce que quelqu'un sait si cette dernière expression est correcte?

L'espérance du carré de toute variable aléatoire est sa variance plus son espérance au carré, comme

.$\mathbb{D}^2(X)=\mathbb{E}([X-\mathbb{E}(X)]^2)=\mathbb{E}(X^2)-[\mathbb{E}(X)]^2 \Rightarrow \mathbb{E}(X^2) = \mathbb{D}^2(X)+[\mathbb{E}(X)]^2$

L'espérance de la distribution paramétrée comme ci-dessus est α / β (comme vous l'avez mentionné), la variance est α / β 2 , donc, l'espérance de son carré est$\Gamma$$\alpha/\beta$ $\alpha/\beta^2$

.$(\alpha/\beta)^2+\alpha/\beta^2$

C'est-à-dire: vous avez raison.

Par souci d'exhaustivité, je vais calculer directement les moments bruts à partir de la densité. Premièrement, sous une paramétrisation forme / vitesse, la distribution gamma a la densité On considérera comme acquis que pour tout choix de paramètres α , β > 0 , on a ∫ ∞ x = 0 f X ( x

$$f_X(x) = \frac{\beta^\alpha x^{\alpha-1} e^{-\beta x}}{\Gamma(\alpha)}, \quad x > 0.$$ $\alpha, \beta > 0$ bien que ce résultat soit facilement dérivé de l'identité ∫ ∞ z = 0 x z - 1 e - $$\int_{x=0}^\infty f_X(x) \, dx = 1,$$ Il s'ensuit alors que pour un entier positif k , E [ X k $$\int_{z=0}^\infty x^{z-1} e^{-z} \, dz = \Gamma(z).$$ $k$où à l'avant-dernière étape, nous observons que l'intégrale est égale à1car elle est l'intégrale d'une densité gamma de paramètresα+ketβ. Pourk=2, on obtient immédiatementE[X2]=Γ(α+2 $$\begin{align*} \mathrm{E}[X^k] &= \int_{x=0}^\infty x^k f_X(x) \, dx \\ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_{x=0}^\infty \beta^\alpha x^{\alpha+k-1} e^{-\beta x} \, dx \\ &= \frac{\Gamma(\alpha+k)}{\beta^k \Gamma(\alpha)} \int_{x=0}^\infty \frac{\beta^{\alpha+k} x^{\alpha+k-1} e^{-\beta x}}{\Gamma(\alpha+k)} \, dx \\ &= \frac{\Gamma(\alpha+k)}{\beta^k \Gamma(\alpha)}, \end{align*}$$ $1$$\alpha+k$$\beta$$k = 2$ Une autre approche consiste à utiliser la fonction de génération de moment: M X (t)= E [ e t X$\mathrm{E}[X^2] = \frac{\Gamma(\alpha+2)}{\beta^2 \Gamma(\alpha)} = \frac{(\alpha+1)\alpha}{\beta^2}.$ $$\begin{align*} M_X(t) = \mathrm{E}[e^{tX}] &= \int_{x=0}^\infty \frac{\beta^\alpha x^{\alpha-1} e^{-\beta x + tx}}{\Gamma(\alpha)} \, dx \\ &= \frac{\beta^\alpha}{(\beta-t)^\alpha} \int_{x=0}^\infty \frac{(\beta-t)^\alpha x^{\alpha-1} e^{-(\beta-t)x}}{\Gamma(\alpha)} \, dx \\ &= \biggl(\frac{\beta}{\beta-t}\biggr)^{\!\alpha}, \quad t < \beta, \end{align*}$$ où la condition sur est requise pour que l'intégrale converge. Nous pouvons réécrire ceci comme M X ( t ) = ( 1 - t / β ) - α , et il s'ensuit que E [ X k ] = [ d k M X ( t $t$ $$M_X(t) = (1 - t/\beta)^{-\alpha},$$ $$\mathrm{E}[X^k] = \left[ \frac{d^k M_X(t)}{dt^k} \right]_{t=0} = \left[(1-t/\beta)^{-\alpha-k}\right]_{t=0} \prod_{j=0}^{k-1} \frac{\alpha+j}{\beta} = \frac{\Gamma(\alpha+k)}{\beta^k \Gamma(\alpha)}.$$