où et est distribué lognormalement

de calculer l'espérance pour arbitraire (pour l'attente est infinie) si est lognormalement distribué, ie .

$$E[e^{cX}]$$ $c<0$$c>0$$X$$\log(X) \sim N(\mu, \sigma)$

Mon idée était d'écrire l'attente comme intégrale, mais je n'ai pas vu comment procéder:

$$E[e^{cX}] = \frac{1}{\sqrt{2\sigma\pi}}\int_0^\infty \frac{1}{x}\exp\left(cx - \frac{(\log x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)dx$$

J'ai également essayé la formule Itô (la tâche réelle est de trouver où est un mouvement brownien géométrique, mais il se réduit au problème ci-dessus parce que nous examinons un processus de Markov) , mais cela ne semblait pas très prometteur non plus. Quelqu'un peut-il m'aider?$E[e^{cX_T} \mid X_t = x]$$X$

Ce que vous voulez, c'est la fonction de génération de moment d'une variable lognormale, qui est connue pour être un problème difficile. Alternativement, c'est la transformée de Laplace, qui est votre expression avec remplacé par . Vous devriez jeter un œil à https://en.wikipedia.org/wiki/Log-normal_distribution qui contient des informations utiles.$c$$-c$

L'article "Sur la transformation de Laplace de la distribution log-normale" de Søren Asmussen, Jens Ledet Jensen et Leonardo Rojas-Nandayapa donne l'approximation suivante, qu'ils étudient en détail. Soit une log-normale avec des paramètres , ce qui signifie que avec . La transformée de Laplace est où . Nous considérons donc la transformée de Laplace . Ensuite, ils donnent l'approximation de : $X$$(\mu, \sigma^2)$$X=e^Y$$Y \sim N(\mu, \sigma^2)$

$$E(\exp(-\theta e^y) = e^{-\theta \mu} E(\exp(-\theta e^{Y_0})$$ $Y_0 \sim N(0,\sigma^2)$$L(\theta) = E(\exp(-\theta e^{Y_0})$$L(\theta)$ $$\frac1{\sqrt{1+W(\theta \sigma^2)}}\exp\left\{ -\frac1{2\sigma^2} W(\theta \sigma^2)^2 - \frac1{\sigma^2} W(\theta \sigma^2) \right\}$$ où est non négatif. Voici la fonction Lambert W, voir https://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function . (Ensuite, l'article examine la qualité de cette approximation et la compare à des approximations plus anciennes).$\theta$$W$