Théorie des valeurs extrêmes: paramètres GEV log-normaux

La distribution lognormale appartient au domaine d'attraction maximal de Gumbel , où:

$F^{logN}(x; \mu,\sigma)=\Phi\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma}\right)$ ,

$F^{Gum}(x;\mu,\beta) = e^{-\exp\left({-\frac{x-\mu}{\beta}}\right)}$

Ma question : avons-nous et ?$\mu=\mu$$\sigma=\beta$

La distribution de valeur extrême généralisée utilise également la notation (Gumbel est le cas limite ), et la comparaison des CDF pour Standard-Lognormal et Standard-Gumbel impliquerait à nouveau que les paramètres coïncident. Mais je n'en suis pas sûr, car Gumbel est un cas limite de Lognormal Maxima, il pourrait donc y avoir une transformation des paramètres également.$\beta=\sigma$$\xi =0$

Soit avec la signification que le rv est normal avec la moyenne et l'écart type . Considérant , nous savons qu'il existe deux séquences et telles que$X_i \sim_{\text{i.i.d}} \text{LNorm}(\mu,\,\sigma)$$\log X_i$$\mu$$\sigma$$M_n := \max_{1 \leqslant i \leqslant n} X_i$$a_n >0$$b_n$

$$\tag{1} \frac{M_n - b_n}{a_n} \to \text{Gum}(0, 1)$$

où désigne la distribution de Gumbel avec l'emplacement et l'échelle . Cela signifie que pour tout .$\text{Gum}(\nu,\,\beta)$$\nu$$\beta$$F_{M_n}(a_n x + b_n) \to F_{\text{Gum}}(x;\,0,\,1)$$x$

De toute évidence, les deux séquences et dépendent de et , elles pourraient donc être désignées comme et . Par exemple, si est remplacé par alors la distribution de est remplacée par celle de et la distribution de est remplacée par celle de , ce qui implique que et doivent être remplacés par et pour maintenir la même limite. De même, si nous remplaçons$a_n$$b_n$$\mu$$\sigma$$a_n(\mu,\,\sigma)$$b_n(\mu,\,\sigma)$$\mu$$\mu +1$$X_i$$e X_i$$M_n$$e M_n$$a_n$$b_n$$ea_n$$eb_n$$\mu$par avec inchangé, doit être remplacé par puis et doivent être remplacés par et .$0$$\sigma$$X_i$$e^{-\mu} X_i$$a_n$$b_n$$e^{-\mu} a_n$$e^{-\mu}b_n$

La question peut être formulée comme suit: si nous utilisons les séquences et sur le côté gauche de (1) - au lieu du et - obtenons-nous sur le côté droit? La réponse est alors non, car les paramètres du Gumbel sont en effet des paramètres de localisation et d'échelle, alors que ce n'est pas vrai pour le log-normal. Le paramètre de la log-normale affecte la queue, comme le montre le fait que le coefficient de variation augmente avec . Alors que reste toujours dans le domaine d'attraction de Gumbel, les séquences$a_n(0, 1)$$b_n(0, \,1)$$a_n(\mu,\,\sigma)$$b_n(\mu,\,\sigma)$$\text{Gum}(\mu,\,\sigma)$$\sigma$$\sigma$$\text{LNorm}(\mu,\,\sigma)$$a_n$et doit avoir tendance à plus rapidement à mesure que augmente. On peut prouver que dans (1) on peut utiliser des séquences et telles que voir Embrechts P., Klüppelberg C. et Mikosch T. tableau 3.4.4 pp 155 -157. Si nous utilisons des séquences et avec un erroné , nous n'obtiendrons pas de limite non dégénérée pour le côté gauche de (1), car les taux de croissance de et ne conviennent alors pas pour la queue de$b_n$$\infty$$\sigma$$a_n$$b_n$

$$b_n(\mu, \sigma) = e^\mu \, b_n(0, 1)^\sigma, \qquad a_n(\mu, \sigma) = \sigma \,(2 \log n)^{-1/2} b_n(\mu,\,\sigma),$$ $a_n$$b_n$$\sigma$$a_n$$b_n$$X_i$ .