J'ai une distribution observée expérimentalement qui ressemble beaucoup à une distribution gamma ou lognormale. J'ai lu que la distribution lognormale est la distribution de probabilité d'entropie maximale pour une variable aléatoire pour laquelle la moyenne et la variance de ln ( X ) sont fixes. La distribution gamma a-t-elle des propriétés similaires?
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Réponses:
Quant aux différences qualitatives, le log-normal et le gamma sont, comme vous le dites, assez similaires.
En effet, en pratique, ils sont souvent utilisés pour modéliser les mêmes phénomènes (certaines personnes utiliseront un gamma alors que d'autres utiliseront un log-normal). Ce sont tous les deux, par exemple, des modèles à coefficient de variation constant (le CV pour le log-normal est , pour le gamma c'est1/√eσ2- 1------√ ).1 / α--√
[Comment peut-il être constant s'il dépend d'un paramètre, demandez-vous? Il s'applique lorsque vous modélisez l'échelle (emplacement de l'échelle logarithmique); pour le lognormal, agit comme un paramètre d'échelle, tandis que pour le gamma, l'échelle est le paramètre qui n'est pas le paramètre de forme (ou sa réciproque si vous utilisez le paramétrage du taux de forme). J'appellerai le paramètre d'échelle pour la distribution gamma β . Les GLM gamma modélisent la moyenne ( μ = α β ) tout en maintenant α constant; dans ce cas, μ est également un paramètre d'échelle. Un modèle avec respectivement μ et α ou σ constant aura un CV constant.]μ β μ=αβ α μ μ α σ
Vous pourriez trouver instructif de regarder la densité de leurs journaux , qui montre souvent une différence très claire.
Le log d'une variable aléatoire lognormale est ... normal. C'est symétrique.
Le log d'une variable aléatoire gamma est de gauche. Selon la valeur du paramètre de forme, il peut être assez asymétrique ou presque symétrique.
Voici un exemple, avec lognormal et gamma ayant une moyenne de 1 et une variance de 1/4. Le graphique du haut montre les densités (gamma en vert, log-normal en bleu), et celui du bas montre les densités des journaux:
(Tracer le journal de la densité des journaux est également utile. C'est-à-dire, prendre une échelle logarithmique sur l'axe des y ci-dessus)
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Pour répondre à votre question sur les processus physiques qui génèrent ces distributions: La distribution lognormale se produit lorsque le logarithme de X est normalement distribué, par exemple, si X est le produit de très nombreux petits facteurs. Si X est distribué gamma, c'est la somme de nombreuses variables distribuées de façon exponentielle. Par exemple, le temps d'attente pour de nombreux événements d'un processus de Poisson.
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