Pourquoi les cours des actions sont lognormaux mais les retours sur actions sont normaux

Excepté le fait que les rendements peuvent être négatifs alors que les prix doivent être positifs, y a-t-il une autre raison derrière la modélisation des prix des actions comme une distribution logarithmique normale mais la modélisation des rendements des actions comme une distribution normale?

Quelques points pour commencer:

i) ces conventions de distribution sont au mieux des approximations. Ils peuvent être des modèles pratiques, mais nous ne devons pas les confondre avec la distribution réelle des cours des actions ou des retours.

$y_t$$t$$y_t/y_{t-1} \, \dot{\sim}\, \log N(\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$$y_t \, \dot{\sim}\, \log N(\log(y_{t-1})+\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$

$x$$\log(1+x)\approx x$

$\frac{y_{t}-y_{t-1}}{y_{t-1}}$

$\log(y_t)-\log(y_{t-1})=\log(\frac{y_t}{y_{t-1}})\approx \frac{y_t}{y_{t-1}}-1=\frac{y_t-y_{t-1}}{y_{t-1}}$

Autrement dit, le retour correspond approximativement à la variation du prix du stock de journaux (essayez-le avec les prix réels des actions et voyez qu'ils sont presque identiques).

Donc si

$$y_t \, \dot{\sim} \, \log N(\log(y_{t-1})+\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$$

ce qui implique

$$\log(y_t) \, \dot{\sim} \, N(\log(y_{t-1})+\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$$

ensuite

$$\frac{y_t-y_{t-1}}{y_{t-1}}\approx \log(y_t)-\log(y_{t-1})\,\dot{\sim}\,N(\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$$