Variable aléatoire uniforme discrète (?) Prenant toutes les valeurs rationnelles dans un intervalle fermé

Je viens d'avoir une crise de panique (intellectuelle).

• Une variable aléatoire continue qui suit un uniforme dans un intervalle fermé $U(a,b)$ : un concept statistique familier.
• Un RV uniforme continu ayant un support sur les réels étendus (à moitié ou entiers): pas un RV proprement dit, mais un concept bayésien de base pour un prior incorrect, utile et applicable.
• Un uniforme discret prenant un nombre fini de valeurs: jetons un dôme géodésique, ce n'est pas grave.

Mais qu'en est-il d'une fonction qui a pour domaine tous les rationnels qui sont inclus dans un intervalle fermé avec des bornes entières (commencez par le si vous le souhaitez)? Et nous voulons l'utiliser dans un cadre probabiliste, exigeant que chaque valeur possible ait une probabilité égale à toutes les autres?$[0,1]$

Le nombre de valeurs possibles est infiniment dénombrable (ce qui caractérise beaucoup de distributions discrètes), mais comment exprimer la probabilité d'une valeur unique étant donné que nous voulons des probabilités égales?

Peut-on dire-montrer-prouver qu'une telle entité est (n'est pas) une variable aléatoire?

Sinon, est-ce une autre incarnation (peut-être déjà bien connue) d'un "prieur impropre"?

Est-il possible que cette entité soit, dans un sens bien défini, aussi spécial, "équivalent" à une RV uniforme continue? Ou je viens de commettre un péché cardinal?

Il semble que le fait que le domaine soit un intervalle fermé ne me laisse pas partir. Les objets délimités sont généralement gérables.

Les questions sont nombreuses afin d'indiquer le maelström interne - je ne demande pas à obtenir des réponses à chacune d'elles.

À tout moment où je pourrais fournir des informations, je mettrai à jour.

MISE À JOUR: la présente question vient d'acquérir une suite constructiviste ici.

Cette "variable aléatoire" est similaire à l'idée d'avoir un a priori plat sur toute la ligne réelle (votre deuxième exemple).

Pour montrer qu'il ne peut y avoir de variable aléatoire telle que P ( X = q ) = c pour tout q ∈ Q ∩ [ 0 , 1 ] et la constante c , nous utilisons la propriété additive σ des variables aléatoires: l'union dénombrable de les événements disjoints ont une probabilité égale à la somme (éventuellement infinie) des probabilités des événements. Donc, si c = 0 , la probabilité P ( X $X$$P(X=q)=c$$q\in \mathbb{Q}\cap[0,1]$$c$$\sigma$$c=0$ , car il s'agit de la somme de nombreux zéros. Si c > 0 , alors P ( X ∈ Q ∩ [ 0 , 1 ] ) = ∞ . Cependant, une variable aléatoire appropriée prenant des valeurs dans Q ∩ [ 0 , 1 ] doit être telle que P ( X ∈ Q ∩ [ 0 , 1 ] ) = 1 , il n'y a donc pas une telle variable aléatoire.$P(X\in\mathbb{Q}\cap[0,1])=0$$c>0$$P(X\in\mathbb{Q}\cap[0,1])=\infty$$\mathbb{Q}\cap[0,1]$$P(X\in\mathbb{Q}\cap[0,1])=1$

La clé ici, comme vous le savez peut-être déjà, est que si l'espace est composé d'un nombre fini de points, nous pouvons utiliser et n'avoir aucun problème avec la somme, et si l'espace a un nombre incalculable de points, vous pouvez avoir c = 0 et l' additivité σ n'est pas violée lors de l'intégration sur l'espace car c'est une déclaration sur les choses dénombrables . Cependant, vous rencontrez des problèmes lorsque vous souhaitez une distribution uniforme sur un ensemble infiniment dénombrable.$c>0$$c=0$$\sigma$

Dans le contexte d'un a priori bayésien, cependant, vous pouvez bien sûr simplement dire que pour tout q ∈ Q ∩ [ 0 , 1 ] si vous êtes prêt à utiliser l'a priori incorrect.$P(X=q)\propto 1$$q\in \mathbb{Q}\cap[0,1]$

Un fait plus positif est le suivant.
Si vous supprimez l'exigence que la mesure de probabilité soit numériquement additive, et exigez seulement, à la place, qu'elle soit finement additive (juste pour le bien de cette question), alors pour les nombres rationnels, la réponse est "oui".
Les nombres rationnels sont un groupe additif car on peut ajouter deux nombres rationnels, il y a un élément neutre, zéro, et tout a un inverse additif - z $z\in\mathbb{Q}$ . Maintenant, on peut équiper les nombres rationnels de la topologie discrète afin qu'ils soient ungroupe discret. (Ceci est important car dans d'autres contextes, il est plus pratique de ne pas le faire et de leur appliquer une autre topologie.)$-z\in\mathbb{Q}$

Considérés comme un groupe discret, ils sont même un groupe discret dénombrable car il n'y a que de nombreux nombres rationnels.
De plus, ils sont un groupe abélien parce que pour n'importe quelle paire de nombres rationnels. Maintenant, les nombres rationnels, considérés comme un groupe discret dénombrable, sont un groupe susceptible. Voir ici pour la définition d'un groupe discret susceptible. Ici, il est démontré que chaque groupe discret abélien dénombrable est susceptible. En particulier, cela s'applique au groupe de nombres rationnels. Par conséquent, par la définition même d'un groupe discret qui se prête, il existe une mesure de probabilité finement additive $z +y =y+z$

$\mu$sur les nombres rationnels qui est invariante par translation, ce qui signifie que pour chaque sous - ensemble A ⊂ Q et un nombre rationnel z ∈ Q . Cette propriété englobe la manière intuitive de définir «l'uniformité». μ disparaît nécessairement sur tous les sous - ensembles finis: μ ( { z } ∈ Q .$\mu(z + A) = \mu(A)$$A\subset\mathbb{Q}$$z\in\mathbb{Q}$

$\mu$ pour tous z Si vous recherchez une variable aléatoire au lieu d'une mesure de probabilité, alors considérez simplement la fonction d'identité sur l'espace de probabilité ( Q , μ ) . Cela donne une telle variable aléatoire requise. Par conséquent, si vous assouplissez un peu votre définition de la mesure de probabilité, vous vous retrouvez avec une réponse positive pour les nombres rationnels. Peut-être que l'existence de μ semble un peu contre-intuitive. On peut se faire une meilleure idée de$\mu(\{z\})=0$$z\in\mathbb{Q}$
$(\mathbb{Q}, \mu)$

$\mu$$\mu$ en tenant compte du fait qu'une conséquence directe de l'invariance de translation est que la mesure de tous les nombres rationnels dont le plancher est pair est de moitié; aussi, la mesure de ceux avec un plancher impair est la moitié, et ainsi de suite.
Cette mesure $\mu$que nous venons de montrer, existe aussi nécessairement sur tous les sous-ensembles bornés (comme on peut le montrer avec un argument similaire), en particulier sur l'intervalle unitaire.
Par conséquent, ne donne pas immédiatement une réponse pour les nombres rationnels dans l'intervalle unitaire. On aurait pu penser que la réponse est plus facile à donner pour les nombres rationnels dans l'intervalle unitaire au lieu de tous les nombres rationnels, mais cela semble être l'inverse. (Cependant, il semble également que l'on puisse concocter une mesure de probabilité sur les nombres rationnels dans l'intervalle unitaire avec des propriétés similaires, mais la réponse nécessiterait alors une définition plus précise de «l'uniformité» - peut-être quelque chose dans le sens de la «traduction - invariant chaque fois que la traduction ne mène pas en dehors de l'intervalle unitaire ".)$\mu$

MISE À JOUR: Vous obtenez immédiatement une mesure sur les rationnels d'intervalle unitaire qui est uniforme dans ce sens, en considérant la mesure poussée de celle sur les rationnels, que nous avons construite, le long de la carte des rationnels aux rationnels d'intervalle unitaire qui mappe chaque rationnel à sa partie fractionnaire.
Par conséquent, après avoir assoupli l'exigence d'une additivité finie, vous obtenez de telles mesures dans les deux cas que vous avez mentionnés.