«La transformée de Fourier ne peut pas mesurer deux phases à la même fréquence.» Pourquoi pas?

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J'ai lu que la transformée de Fourier ne peut pas distinguer des composants de même fréquence mais de phase différente. Par exemple, dans Mathoverflow ou xrayphysics , où j'ai obtenu le titre de ma question: "La transformée de Fourier ne peut pas mesurer deux phases à la même fréquence."

Pourquoi est-ce vrai mathématiquement?

Math stupéfait
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Pouvez- vous distinguer les composantes de, disons ? Je parie que tu ne peux pas. sin(x)+sin(x+c)
Ilmari Karonen
Le FT trouve des composants qui pourraient être additionnés pour reconstruire un signal donné. Mais cela ne signifie pas que ces composants étaient en fait présents dans l'original. Il existe une infinité de manières différentes de «construire» un signal donné, mais le signal n'aura qu'un seul FT unique.
Solomon Slow

Réponses:

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C'est parce que la présence simultanée de deux signaux sinusoïdaux avec la même fréquence et des phases différentes est en réalité équivalente à une seule sinusoïdale à la même fréquence, mais avec une nouvelle phase et une nouvelle amplitude comme suit:

Soit les deux composantes sinusodiales résumées comme ceci:

x(t)=acos(ω0t+ϕ)+bcos(ω0t+θ)

Ensuite, à partir des manipulations trigionométriques, il peut être démontré que:

x(t)=Acos(ω0t+Φ)

A=a2+b2+2abcos(θϕ)
et
Φ=tan1(asin(ϕ)+bsin(θ)acos(ϕ)+bcos(θ))

vous avez donc en fait une seule sinusoïdale (avec une nouvelle phase et amplitude), et donc rien à distinguer en effet ...

Fat32
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Mon cerveau doit être éteint parce que je suis le truc du trig mais il y a toujours de la confusion qui tourbillonne. En d'autres termes, si nous les considérons simplement comme deux signaux où l'un commence "plus tard" que l'autre mais qu'ils ne sont pas ajoutés, pouvons-nous les distinguer? Est-ce que vous devez les ajouter parce que vous ne pouvez pas avoir deux points de données à une fréquence? Merci.
Mark Leeds
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@markleeds, l'OP n'a pas dit qu'il faisait référence à la transformée de Fourier fenêtrée, et les liens donnés indiquent clairement la version régulière non fenêtrée. Dans la version régulière de l'analyse de Fourier, les signaux sont supposés composés d'une somme pondérée de sinusoïdes de phase différente. L'analyse consiste à obtenir ces poids et phases. Leur collection est le spectre. Si vous concaténez 2 sinusoïdes, cette analyse globale de Fourier ne peut pas non plus distinguer leur phase. Cependant, la transformée de Fourier fenêtrée est conçue pour un tel travail ... pas qu'elle le fasse remarquablement bien.
Stefan Karlsson
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Comme mon commentaire le suggérait, il pourrait être instructif d'ajouter une mention de la transformée de Fourier fenêtrée. Si @ Fat32 a le temps, il pourrait mentionner la discontinuité impliquée dans la concaténation de 2 sinusoïdes de fréquence différente, et pourquoi nous obtenons une gamme de fréquences apparemment aléatoires ajoutées à la transformée de Fourier globale si nous essayons d'analyser cela.
Stefan Karlsson
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Bonjour @markleeds, comme StefanKarlsson l'a déjà indiqué, la question portait sur le cas de superposition (présence additive simultanée) de ces deux sinusoïdes de même fréquence. Notez très attentivement que la phase est un terme relatif et non absolu; c'est-à-dire qu'il est mesuré par rapport à une origine commune (temps) choisie, qui est ci-dessus. La concaténation (comme dans le déphasage) permet une discrimination fenêtrée mais vous devez toujours vous référer à une origine temporelle commune pour indiquer les différences de phase de toute façon. C'est pourquoi les récepteurs PSK nécessitent une synchronisation stricte du temps d' impulsion ;-)t=0
Fat32
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@smsc a envie de me répéter mais si la sortie de ces deux câbles est ajoutée puis analysée via FT, alors vous verrez une seule onde sinusoïdale avec une phase composite et un ampli ... Mais si vous ne les ajoutez pas et n'analysez pas séparément, alors vous pourrez dire leurs phases relatives ... Et ce n'est pas lié à la DFT.
Fat32
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Si vous lisez plus loin, jusqu'à "La version simplifiée de la transformée de Fourier dont nous avons discuté ci-dessus ne peut pas tenir compte des changements de phase - comment la transformée de Fourier le fait-elle réellement?" vous noterez une explication légèrement meilleure, ils utilisent des sinus et des cosinus.

" Mathématiques des déphasages (facultatif) .

Pour voir comment un déphasage peut être décomposé en sinus et cosinus non décalés, nous avons besoin d'une identité trigonométrique: sin (a + b) = sin (a) * cos (b) + cos (a) * sin ( b).

A * sin (2 * π * f * t + φ) = A * cos (φ) * sin (2 * π * f * t) + A * sin (φ) * cos (2 * π * f * t)

Comme vous pouvez le voir, le déphasage déplace une partie de l'amplitude (énergie) du signal sinusoïdal en un signal cosinusoïdal, mais la fréquence ne change pas. Si vous utilisez la représentation numérique complexe de la transformée de Fourier, le déphasage représente simplement une rotation de la valeur dans le plan complexe, avec une amplitude inchangée. Le fait que les déphasages ne font que déplacer l’amplitude du sinus au cosinus signifie que l’ajout de deux signaux de même fréquence et de phase différente donne un signal avec un déphasage global (moyen) à cette fréquence - et aucune mémoire des composants. ".

En pratique, c'est plus compliqué, voir " Techniques de Fourier partielles ", " Symétrie à conjugaison de phase " et " FOV et k-espace ". Dans " Intro to Phase-encoding - I ", ils expliquent:

"... lorsque deux ondes sinusoïdales (A et B) de même fréquence mais de phases différentes sont additionnées, le résultat est une autre onde sinusoïdale de même fréquence mais de phase différente. Lorsque les ondes sinusoïdales sont rapprochées en phase, elles sont constructives interfèrent, et lorsqu'ils sont déphasés, ils interfèrent de façon destructrice.

... En ne regardant que leur somme, vous voyez simplement une onde sinusoïdale d'une certaine fréquence et phase. Il est impossible de ce single observation de trier les contributions individuelles apportées par les vagues A et B.

Cependant, en faisant deux observations avec A et B décalées de phases différentes, il est possible de déterminer leurs contributions individuelles en ne regardant que leurs sommes. Ceci est illustré ci-dessous dans une image RM, où A et B sont deux pixels dans la même colonne verticale résonnant à la même fréquence codée (ω). Plus précisément, à l'étape 0 (ligne de base, quand aucun gradient de codage de phase n'a été appliqué), le signal total d'A&B peut être écrit ensemble: So (t) = A sin ωt + B sin ωt = (A + B) sin ωt.

Appliquer un gradient d'encodage de phase pour déphaser les spins le long de l'axe vertical

...

De cette seule mesure de l'étape 1, nous ne connaissons toujours pas les amplitudes individuelles A et B, seulement leur différence (A − B). En utilisant les informations de l'étape 0 et de l'étape 1 ensemble, nous sommes en mesure d'extraire les contributions de signal uniques par une algèbre simple:

½ [So + S1] = ½ [(A + B) + (A − B)] = A    et    ½ [So - S1] = ½ [(A + B) - (A − B)] = B

".

Sinon, cela ressemblerait à ceci (image A):

Effet de SDPS sur l'image PFI

PFI montrant des artefacts de divers algorithmes: (A) algorithme de base, (B) algorithme BAX, (C) algorithme de remplissage nul, (D) algorithme de base utilisant des données qui avaient une correction SDPS linéaire constante préalable, illustrant des artefacts de SDPS d'ordre supérieur.

Rob
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ccos(ωt+ϕ)Re(ce(ωt+ϕ)i)Rec1cos(ωt+ϕ1)+c2cos(ωt+ϕ2)=Re(c1e(ωt+ϕ1)i+c2e(ωt+ϕ2)i)aeωtiRe(eωti(c1eϕ1i+c2eϕ2i))ceϕicϕ . Et nous pouvons effectuer l'addition dans cet espace vectoriel: le vecteur représentant la somme est la somme des vecteurs représentant les sommets.

Ainsi, alors que les deux signaux affectent la magnitude de la sortie, un signal supplémentaire n'affectera pas l'emplacement dans l'espace des phases de la sortie.

Accumulation
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Je voudrais emprunter le chemin d'une version géométrique de la question, en utilisant des sommes de cercles.

Sines et cosinus sont « juste » les parties réelles et imaginaires de cisoids, ou exponentielles complexes (quelques références se trouvent à Comment expliquer une exponentielle complexe intuitive? , Terrain Wiggle 3D pour un signal analytique: Heyser tire - bouchon / spirale , transformée de Fourier Identités ).

sω,ϕ(t)=e2πi(ωt+ϕ)Re(sω,0(t))=cos(2πωt)Im(sω,π/2(t))=cos(2πωt)ω

Cercles harmoniques

a1sω,ϕ1(t)+a2sω,ϕ2(t)?

a1a2e2πiϕ1e2πiϕ2

sω,0(t)+asω,ϕ(t),

|a|<1

(1)e2πi(ωt)+ae2πi(ωt+ϕ)

et donc comme:

(2)(1+ae2πiϕ)e2πi(ωt),

(1+ae2πiϕ)αe2πiφa-Le cercle de rayon est comme une petite roue tournante attachée à la valve (comme les cercles bleu et rouge uniquement sur l'image ci-dessus). Et maintenant, nous regardons le mouvement d'un point sur le périmètre de la petite roue.

1aα12 .

En d'autres termes, ni une transformée de Fourier, ni un œil humain ne peuvent distinguer des composants de même fréquence mais de phase différente .

[[Je vais ajouter des animations si je trouve le temps]]

Laurent Duval
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