J'ai lu que la transformée de Fourier ne peut pas distinguer des composants de même fréquence mais de phase différente. Par exemple, dans Mathoverflow ou xrayphysics , où j'ai obtenu le titre de ma question: "La transformée de Fourier ne peut pas mesurer deux phases à la même fréquence."
Pourquoi est-ce vrai mathématiquement?
fourier-transform
fourier
Math stupéfait
la source
la source
Réponses:
C'est parce que la présence simultanée de deux signaux sinusoïdaux avec la même fréquence et des phases différentes est en réalité équivalente à une seule sinusoïdale à la même fréquence, mais avec une nouvelle phase et une nouvelle amplitude comme suit:
Soit les deux composantes sinusodiales résumées comme ceci:
Ensuite, à partir des manipulations trigionométriques, il peut être démontré que:
oùA=a2+b2+2abcos(θ−ϕ)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√ et
Φ=tan−1(asin(ϕ)+bsin(θ)acos(ϕ)+bcos(θ))
vous avez donc en fait une seule sinusoïdale (avec une nouvelle phase et amplitude), et donc rien à distinguer en effet ...
la source
Si vous lisez plus loin, jusqu'à "La version simplifiée de la transformée de Fourier dont nous avons discuté ci-dessus ne peut pas tenir compte des changements de phase - comment la transformée de Fourier le fait-elle réellement?" vous noterez une explication légèrement meilleure, ils utilisent des sinus et des cosinus.
En pratique, c'est plus compliqué, voir " Techniques de Fourier partielles ", " Symétrie à conjugaison de phase " et " FOV et k-espace ". Dans " Intro to Phase-encoding - I ", ils expliquent:
Sinon, cela ressemblerait à ceci (image A):
PFI montrant des artefacts de divers algorithmes: (A) algorithme de base, (B) algorithme BAX, (C) algorithme de remplissage nul, (D) algorithme de base utilisant des données qui avaient une correction SDPS linéaire constante préalable, illustrant des artefacts de SDPS d'ordre supérieur.
la source
Ainsi, alors que les deux signaux affectent la magnitude de la sortie, un signal supplémentaire n'affectera pas l'emplacement dans l'espace des phases de la sortie.
la source
Je voudrais emprunter le chemin d'une version géométrique de la question, en utilisant des sommes de cercles.
Sines et cosinus sont « juste » les parties réelles et imaginaires de cisoids, ou exponentielles complexes (quelques références se trouvent à Comment expliquer une exponentielle complexe intuitive? , Terrain Wiggle 3D pour un signal analytique: Heyser tire - bouchon / spirale , transformée de Fourier Identités ).
et donc comme:
En d'autres termes, ni une transformée de Fourier, ni un œil humain ne peuvent distinguer des composants de même fréquence mais de phase différente .
[[Je vais ajouter des animations si je trouve le temps]]
la source