Quelle est l'explication la plus lucide et intuitive pour les différents FT - CFT, DFT, DTFT et la série Fourier?

Même après les avoir étudiés pendant un certain temps, j'ai tendance à oublier [si je suis déconnecté pendant un certain temps] comment ils sont liés les uns aux autres et ce que chacun représente [car ils ont des noms qui sonnent tellement similaires]. J'espère que vous arriverez à une explication si intuitive et si belle mathématiquement qu'ils seront intégrés dans ma mémoire pour toujours et ce fil servira de rafraîchissement super rapide chaque fois que j'en aurai besoin [ou quelqu'un d'autre].

J'ai écrit ce document en complément d' Oppenheim et Willsky . Veuillez consulter le tableau 4.1 à la page 14, reproduit ci-dessous. (Cliquez pour agrandir l'image.) J'ai écrit ce tableau spécifiquement pour répondre à des questions telles que la vôtre.

Notez les similitudes et les différences entre les quatre opérations:

1. "Série": périodique dans le temps, discrète en fréquence
2. "Transform": apériodique dans le temps, continu en fréquence
3. "Continuous Time": continu dans le temps, apériodique en fréquence
4. "Discrete Time": discret dans le temps, périodique en fréquence

J'espère que ces notes vous seront utiles! N'hésitez pas à distribuer comme vous le souhaitez.

Pour une explication lucide et correcte de ces concepts, vous devez parcourir certains des manuels standard (Oppenheim-Schafer, Proakis-Manolakis ou "Understanding Digital Signal Processing" de Richard Lyons qui est un très bon livre mais relativement moins populaire) . Mais en supposant une discussion à la table basse, je ferai des déclarations extrêmement vagues dans ce qui suit. :)

Pour un signal temporel continu général, vous ne vous attendriez pas à ce qu'une fréquence particulière soit absente, donc sa transformée de Fourier (ou la transformée de Fourier continue) serait une courbe continue avec un support éventuellement -inf à + inf.

Pour un signal continu périodique (période T), Fourier a exprimé le signal comme une combinaison de sinus et cosinus ayant la même période (T, T / 2, T / 3, T / 4, ...). En effet, le spectre de ce signal est une série de pointes aux emplacements 1 / T, 2 / T, 3 / T, 4 / T, ... C'est ce qu'on appelle la représentation de la série de Fourier. Il existe un théorème qui dit que la représentation en série de Fourier de tout signal temporel continu périodique converge vers le signal lorsque vous incluez de plus en plus de sinus et cosinus (ou exponentielles complexes) dans le sens carré moyen.

Moralité jusqu'à présent: périodicité dans le temps => spectre épineux

Passons au temps discret ... Que se passe-t-il si vous échantillonnez un signal horaire continu? Il doit être clair que pour un signal suffisamment élevé, vous ne pourrez pas reconstruire le signal. Si vous ne faites aucune hypothèse sur les fréquences dans le signal, étant donné le signal échantillonné, il n'y a aucun moyen de dire quel est le vrai signal. En d'autres termes, différentes fréquences sont représentées de manière équivalente dans le signal à temps discret. En parcourant quelques mathématiques, vous pouvez obtenir le spectre du signal échantillonné à partir du signal continu d'origine. Comment? Vous décalez le spectre du signal temporel continu de quantités + -1 / T, + -2 / T, ... et ajoutez toutes les copies décalées (avec une certaine mise à l'échelle). Cela vous donne un spectre continu qui est périodique avec la période 1 / T. (Remarque: le spectre est périodique en raison de l'échantillonnage dans le temps, le signal temporel ne t doivent être périodiques) Puisque le spectre est continu, vous pouvez aussi bien le représenter avec une seule de ses périodes. Il s'agit de la DTFT (Transformée de Fourier à "Temps Discret"). Dans le cas où votre signal de temps continu d'origine a des fréquences ne dépassant pas + -1 / 2T, les copies décalées du spectre ne se chevauchent pas et, par conséquent, vous pouvez récupérer le signal de temps continu d'origine en sélectionnant une période du spectre ( le théorème d'échantillonnage de Nyquist).

Une autre façon de se souvenir: signal temporel hérissé => périodicité du spectre

Que se passe-t-il si vous échantillonnez un signal périodique à temps continu avec une période d'échantillonnage T / k pour certains k? Eh bien, le spectre du signal en temps continu était épineux d'être avec, et l'échantillonner par un diviseur de T signifie que les pointes dans les copies décalées tombent exactement sur des multiples de 1 / T, donc le spectre résultant est un spectre périodique épineux . signal temporel périodique épineux <=> spectre périodique épineux (en supposant que la période et la fréquence d'échantillonnage sont "bien liées" comme ci-dessus.) C'est ce que l'on appelle la DFT (Discrete Fourier Transform). La FFT (Fast Fourier Transform) est une classe d'algorithmes pour calculer efficacement la DFT.

La façon dont la DFT est invoquée est la suivante: Supposons que vous souhaitiez analyser une séquence de N échantillons dans le temps. Vous pouvez prendre DTFT et traiter l'une de ses périodes, mais si vous supposez que votre signal est périodique avec la période N, alors DTFT se réduit à DFT et vous n'avez que N échantillons d'une période de DTFT qui caractérisent complètement le signal. Vous pouvez mettre à zéro le signal dans le temps pour obtenir un échantillonnage plus fin du spectre et (beaucoup plus de ces propriétés).

Tout ce qui précède n'est utile que s'il est accompagné d'une étude du DSP. Ce qui précède ne sont que quelques lignes directrices très approximatives.

Soit une fonction bornée de période T , c'est-à-dire pour tous les nombres réels t , x ( t + T ) = x ( t ) . À titre d'exemple particulier, cos ( 2 π t / T ) est une telle fonction. On veut trouver la "meilleure" approximation a n cos ( 2 π n t / T ) pour cette fonction où l'on souhaite choisir le coefficient a $x(t)$$T$$t$$x(t+T) = x(t)$$\cos(2\pi t/T)$$a_n\cos(2\pi nt/T)$$a_n$de sorte que l'erreur quadratiqueest aussi petite que possible. En développant l'intégrande, nous avons une erreur quadratique = ∫ T 0 x 2 ( t

$$\int_0^T (x(t) - a_n\cos(2\pi nt/T))^2\,\mathrm dt,$$ L'intégrale la plus à gauche est l'énergie E fournie par une période de x ( t ) tandis que l'intégrale la plus à droite a la valeur T / 2 et nous voyons donc que l' erreur quadratique = E - 2 a n ∫ T 0 x ( t ) cos ( 2 π n t / T $$\text{squared error} = \int_0^T x^2(t)\,\mathrm dt - 2a_n \int_0^T x(t)\cos(2\pi nt/T)\,\mathrm dt +(a_n)^2\int_0^T \cos^2(2\pi nt/T)\,\mathrm dt.$$ $E$$x(t)$$T/2$ À présent. poura>0, la fonction quadratiqueaz2+bz+ca un minimum àz=-b/2a (à mi-chemin entre les racines(-b/2a)± $$\text{squared error} = E - 2a_n \int_0^T x(t)\cos(2\pi nt/T)\,\mathrm dt +(a_n)^2\frac{T}{2}.$$ $a > 0$$az^2 + bz + c$$z = -b/2a$!!) et ainsi, puisque nous avons exprimé l'erreur quadratique en fonction quadratique d'unn, le choix d'unnqui minimise l'erreur quadratique est unn=$(-b/2a) \pm \sqrt{b^2 - 4ac}/2a$$a_n$$a_n$ De même, choisir b n comme b n = $$a_n = \frac{2}{T}\int_0^T x(t)\cos(2\pi nt/T)\,\mathrm dt.$$ $b_n$ minimise l'erreur quadratique entre x ( t ) et b n sin ( 2 π n t / T ) . Ainsi, nous voyons que la série de Fourier n'est rien d'autre qu'une astuce bon marché pour trouver l'approximation d'erreur quadratique minimale d'une fonction périodique x ( t ) en termes de signaux sinus et cosinus de la même période et de leurs harmoniques. $$b_n = \frac{2}{T}\int_0^T x(t)\sin(2\pi nt/T)\,\mathrm dt$$ $x(t)$$b_n\sin(2\pi nt/T)$$x(t)$

Endolith a raison, si vous commencez réellement avec la série de Fourier et voyez comment elle est étendue à la transformée de Fourier, alors les choses commencent à avoir beaucoup de sens. Je donne une brève explication à ce sujet dans la première moitié de cette réponse .

Une bonne (peut-être pas simple) façon de regarder la famille de la transformée de Fourier (par laquelle je veux dire les 4 que vous avez énumérées ci-dessus), est à travers les lunettes de dualité Pontryagin . Cela vous permet de mémoriser les différentes transformations par les domaines d'origine et transformés.

$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$

$n$$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$n$$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

$\mathbb{T}$$\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}$$\mathbb{T}$

Cette réponse n'est pas complète et je vais peut-être m'appuyer sur cette réponse pour clarifier quelques points lorsque j'en ai le temps, mais d'ici là, cela pourrait être quelque chose à mâcher jusqu'à ce que vous obteniez une explication plus intuitive de quelqu'un d'autre. Essayez également de lire des variantes de l'analyse de Fourier sur Wikipédia.

Je pense que la chose la plus importante est de comprendre fondamentalement pourquoi avons-nous besoin de transformations de Fourier. Ce sont l'une des nombreuses transformations de signaux possibles, mais aussi l'une des plus utiles. Une transformation transforme fondamentalement un signal dans un autre domaine qui peut nous donner un aperçu du signal dans ce domaine, ou il se peut que le domaine soit mathématiquement facile à travailler. Une fois que nous avons fini de travailler dans ce domaine, nous pouvons prendre la transformation inverse pour obtenir plus facilement le résultat souhaité.

Les blocs de construction les plus élémentaires de la théorie des fouriers sont les monotones (sinus et cosinus). Nous pouvons décomposer un signal en ses composantes de fréquence (monotones) en utilisant les mathématiques de Fourier. Ainsi, la transformée de Fourier transforme fondamentalement un signal du domaine temporel en domaine fréquentiel. Le coefficient de chacun des monotones de la série de Fourier nous renseigne sur la force de cette composante de fréquence dans le signal. Les transformées de Fourier (CFT, DFT) nous donnent explicitement une vue du domaine fréquentiel du signal. Dans la nature, les sinus et les cosinus sont les formes d'onde les plus importantes. Les signaux synthétiques comme les ondes carrées ou les signaux présentant de fortes fluctuations sont moins susceptibles de se produire naturellement et ne s'étonnent pas, de façon surprenante, de la gamme infinie de fréquences, comme l'expliquent très clairement les transformées de Fourier. Les gens doutaient qu'un signal puisse être transformé en somme de sinus / cosinus. Fourier a montré que la forme d'onde carrée (qui est loin des sinus / cosinus) peut en effet l'être. Le bruit blanc contient toutes les fréquences de force égale.

De plus, si vous travaillez avec des séries de Fourier, les coefficients ainsi que le terme de phase peuvent être considérés comme ceux requis pour superposer correctement les formes d'onde sinosoïdales constitutives de sorte que la superposition est en effet le signal requis dont vous prenez la transformation. Lorsque vous travaillez avec des transformées de Fourier, les nombres complexes ont implicitement les termes de phase et la magnitude requise de chacun des monotones. (l'intégration est à peu près comme la sommation. continue => intégration, discrète => sommation)

Je pense qu'une fois que vous avez compris le thème d'un concept, tout le reste n'est que des détails que vous devrez vous-même comprendre en lisant des livres. La lecture de l'application des transformées de Fourier à divers domaines vous donnera une meilleure perception.

Un DFT est une transformation d'un vecteur de paires de nombres d'un espace orthogonal à un autre. Très couramment fait comme un calcul numérique. Pour une raison quelconque, lorsque vous prenez un groupe de chiffres du monde réel, le 2e groupe de chiffres s'avère souvent assez proche de quelque chose de très utile.

Je me souviens de l' efficacité déraisonnable des mathématiques dans les sciences naturelles , en particulier en ce qui concerne l'application de la DFT à de nombreux systèmes qui semblent être approximés par différents types d'équation différentielle du 2e degré, même le son de la cuillère à café que je viens de déposer.

Les 3 autres XYZ-FT font des hypothèses sur l'existence de certaines entités infinies mythiques pour aider les solutions symboliques à s'intégrer sur le tableau blanc avant que le café ne refroidisse trop. Ce sont les "vaches sphériques" du traitement du signal. Les séries DTFT et Fourier prétendent qu'un vecteur peut être étendu à l'infini au prix d'une densité infinie de l'autre entité. La série de Fourier prétend que les deux entités peuvent être des fonctions continues infinies.

Prenez suffisamment de cours de mathématiques et on pourrait même déterminer toutes les définitions et hypothèses nécessaires pour rendre ces entités fictives exactes et complètes en deux sens.