Nous savons que le principe d'incertitude de Heisenberg stipule que
Mais (dans de nombreux cas pour l'ondelette de Morlet), j'ai vu qu'ils ont changé l'inégalité en une égalité. Maintenant, ma question est de savoir quand pouvons-nous changer l'inégalité en une égalité:
why =
fourier-transform
wavelet
resolution
Électricien
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Réponses:
Il est important de définir les largeurs temporelle et fréquentielle et Δ ω d'un signal avant de discuter de toute forme particulière du principe d'incertitude. Il n'y a pas de définition unique de ces quantités. Avec des définitions appropriées, on peut montrer que seul le signal gaussien satisfait au principe d'incertitude avec égalité.Δt Δω
Considérons un signal avec transformée de Fourier F ( ω ) satisfaisantF( t ) F( ω )
Aucune de ces conditions n'est en fait une restriction. Ils peuvent tous être satisfaits (pour les signaux à énergie finie) par une mise à l'échelle, une translation et une modulation appropriées.
Si nous définissons maintenant les largeurs de temps et de fréquence comme suit
alors le principe d'incertitude stipule que
où l'inégalité est satisfaite de l'égalité pour le signal gaussien
Les numéros d'équation ci-dessus correspondent à la preuve ci-dessous qui provient de Wavelets and Subband Coding de Vetterli et Kovacevic (p.80):
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Je ne peux pas vous donner toute la théorie derrière cela (car cela remplit littéralement les livres), mais il s'avère que Heisenberg devient une égalité exacte pour précisément cette famille de signaux:
où tous les paramètres sont des nombres réels. Cette famille est générée par des symplectomorphismes quadratiques en temps-fréquence à partir d'un seul atome de Gabor. Ces symplectomorphismes préservent la relation d'incertitude de Heisenberg.
La notion d'aire temps fréquence peut cependant être généralisée pour mesurer l'aire de formes non alignées avec l'axe temps et fréquence. Cela signifie qu'au lieu du produit d'incertitude entre F et T, nous mesurons le produit d'incertitude minimal de deux variables conjuguées réparties entre F et T. Je vous épargne les détails, mais pour cette définition de la zone temps-fréquence, la famille de signaux donne vous le minimum.
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Le principe d'incertitude établit une limite théorique pour la résolution, il n'est donc jamais écrit comme une égalité.
Les relations d'égalité que vous rencontrez concernent un contexte d'analyse spécifique et une implémentation d'analyse. Dans ce cas, le contexte est l'analyse du signal, donc le temps / fréquence sont les variables conjuguées d'intérêt, et la mise en œuvre est l'ondelette spécifique utilisée.
La relation d'égalité permet de comparer les résolutions entre différentes implémentations d'analyse. Il faut être prudent lors de l'interprétation de ces relations car la définition de la résolution ne devrait pas, mais peut varier.
Une relation d'égalité est appropriée une fois que vous avez défini deux choses: 1) la signification mathématique de la résolution. 2) la méthode d'analyse (dans ce cas, choix de l'ondelette).
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