Mécanique des solides à différences finies: comment gérer les «nœuds de coin»?

J'ai une question concernant le codage des conditions aux limites pour la mécanique des solides (élasticité linéaire). Dans le cas particulier, je dois utiliser des différences finies (3D). Je suis très nouveau sur ce sujet, donc certaines des questions suivantes peuvent être très basiques.

Pour mener à mon problème spécifique, je veux tout d'abord montrer ce que j'ai déjà implémenté (pour être clair, je n'utiliserai que la 2D).

1.) J'ai la discrétisation suivante de , montrant la première composante de la divergence :$div(\sigma) = 0$$\frac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial\sigma_{xy}}{\partial y} = 0$

J'utilise une grille non décalée, donc Ux et Uy sont définis au même endroit.

2.) L'étape suivante consistait à traiter les limites, où j'utilise des "nœuds fantômes". Selon , où est la contrainte sur la frontière.$\sigma \bullet n = t^*$$t^*$

a) Ici, j'utilise pour obtenir Ux au point fantôme comme toutes les autres valeurs de Ux et Uy sont données (à l'intérieur du corps). est la valeur de cette contrainte sur la frontière (normalement zéro).$(\lambda + 2\mu)\frac{\partial U_x}{\partial x} + \lambda \frac{\partial U_y}{\partial y} = \sigma_{xx}^*$$\sigma_{xx}^*$

$\mu\frac{\partial U_x}{\partial y} + \mu \frac{\partial U_y}{\partial x} = \sigma_{xy}^*$$\sigma_{xy}^*$

3.) Je pense que jusqu'à présent, toutes mes étapes semblent être logiques, sinon, veuillez me corriger . Mais maintenant, il y a aussi les "nœuds de coin", où je ne sais pas comment les gérer.

$div(\sigma) = 0$

Donc ma question est quelle est la bonne façon de gérer ces "nœuds de coin"? Je suis content pour chaque idée.

J'ai rencontré des problèmes similaires avec les conditions aux limites des coins, en particulier pour résoudre les problèmes de plaque structurelle avec une pression transversale uniformément appliquée. En particulier si l'on essaie d'obtenir les charges de cisaillement sur les bords (y compris les coins). Les charges de cisaillement sont fonction de ∂ ^ 3 w / ∂ ^ 2 x∂y. En utilisant un schéma de différence central, cela fait que l'on a besoin du nœud "fantôme" qui est diagonal par rapport au nœud de coin pour déterminer cette dérivée. Je ne pense pas qu'une moyenne basée sur des nœuds adjacents soit appropriée. Ce que j'ai fait était d'utiliser le moment de torsion Mxy que j'ai calculé au nœud de coin et de l'assimiler à la "molécule" de différence finie pour le moment de torsion en fonction des déplacements. Comme je connaissais déjà les déplacements de tous les autres nœuds adjacents (en fonction des conditions aux limites le long des bords de la plaque), il était simple de résoudre ce nœud de coin "délicat". J'espère que cela aide.

Vous essayez peut-être de résoudre un système d'équations qui n'a pas de solution unique. Imaginez que vous avez un tas de nœuds connectés par des ressorts, flottant dans l'espace, et que vous souhaitez trouver la position d'équilibre de chaque nœud. Si le système n'est pas ancré à quelque chose de fixe (ou qu'aucune force n'est appliquée), il existe de nombreuses solutions possibles. Toute solution peut toujours être traduite ou pivotée et c'est toujours une solution. Avez-vous essayé de fixer les déplacements à un nœud de coin pour éliminer la translation et de fixer un déplacement à un autre coin pour éliminer les rotations?

J'ai essayé une fois cette approche de fixation de certains nœuds et d'ajustement des forces normales à d'autres, mais elle semblait concentrer de grandes quantités de force sur les nœuds limites individuels, entraînant une instabilité. Ce qui a fini par fonctionner était de ne pas essayer d'ancrer seulement quelques nœuds, mais d'ancrer tous les nœuds par rapport à une déformation homogène. Essentiellement, vous déformez l'ensemble du système de manière homogène, mais incluez ensuite le composant homogène dans la définition locale de la déformation à chaque nœud, de sorte qu'il ne contribue pas à une énergie élastique supplémentaire. Vous pouvez en savoir plus à ce sujet dans cet article et les références citées: http://pubs.acs.org/doi/abs/10.1021/nn204177u .

Ce problème d'instabilité est probablement une bonne raison de choisir des éléments finis pour des problèmes de mécanique lorsque cela est possible.