Pourquoi les points équidistants se comportent-ils mal?

Description de l'expérience:

Dans l'interpolation de Lagrange, l'équation exacte est échantillonnée en $N$ points (ordre polynomial $N - 1$ ) et interpolée en 101 points. Ici, $N$ varie de 2 à 64. Chaque fois que $L_1$ , $L_2$ et $L_\infty$ des tracés d'erreur sont préparés. On voit que, lorsque la fonction est échantillonnée à des points équidistants, l'erreur tombe d' abord (il arrive à $N$ est inférieure à environ 15 environ ), puis l'erreur va avec augmentation supplémentaire de $N$ .

Alors que si l'échantillonnage initial est effectué aux points Legendre-Gauss (LG) (racines des polynômes de Legendre) ou Legendre-Gauss-Lobatto (LGL) (racines des polynômes Lobatto), l'erreur tombe au niveau de la machine et ne augmenter lorsque $N$ est encore augmenté.

Mes questions sont,

Que se passe-t-il exactement dans le cas de points équidistants?

Pourquoi l'augmentation de l'ordre polynomial fait-elle augmenter l'erreur après un certain point?

Cela signifie-t-il également que si j'utilise des points équidistants pour la reconstruction WENO / ENO (en utilisant des polynômes de Lagrange), alors dans la région lisse, j'obtiendrai des erreurs? (eh bien, ce ne sont que des questions hypothétiques (pour ma compréhension), il n'est vraiment pas raisonnable de reconstruire un polynôme de l'ordre de 15 ou plus pour le schéma WENO)

Détails supplémentaires:

Fonction approximative:

$f(x) = \cos(\frac{\pi}{2}~x)$,$x \in [-1, 1]$

$x$ divisé en$N$ points espacés (et plus tard LG). La fonction est interpolée à 101 points à chaque fois.

Résultats:

1. a) Points équidistants (interpolation pour $N = 65$ ):

1. b) Points équidistants (tracé d'erreur, échelle logarithmique):

2. a) Points LG (interpolation pour $N = 65$ ):

3. b) Points LG (tracé d'erreur, échelle logarithmique):

Le problème avec les points espacés est que le polynôme d'erreur d'interpolation, c'est-à-dire

$$f(x) - P_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \prod_{i=0}^n (x - x_i),\quad \xi\in[x_0,x_n]$$

$x_i$

Si vous utilisez des points de Gauss-Legendre, le polynôme d'erreur se comporte beaucoup mieux, c'est-à-dire qu'il ne souffle pas sur les bords. Si vous utilisez des nœuds Chebyshev , ce polynôme équioscille et l'erreur d'interpolation est minime.

C'est une question vraiment intéressante, et il y a beaucoup d'explications possibles. Si nous essayons d'utiliser une interpolation polynomiale, notons que le polynôme satisfait l' inégalité ennuyeuse suivante

$P$$N$

$$|P^{\prime}(x)| \leq \frac{N}{\sqrt{1-x^2}}\max _x |P(x) |$$

pour chaque . Ceci est connu comme l'inégalité de Bernstein , notez la singularité de cette inégalité. Cela peut être limité par l' inégalité de Markov$x \in (-1,1)$

$$\max _x |P^{\prime} (x) | \leq N^2 \max _x |P(x) |$$

et notez que cela est net dans le sens où les polynômes de Chebysehv en font une équation. En d'autres termes, nous avons la borne combinée suivante.

$$|P^{\prime}(x)| \leq \min \left(\frac{N}{\sqrt{1-x^2}},N^2\right)\max _x |P(x) |$$

Ce que cela signifie: les gradients des polynômes croissent de manière linéaire dans leur ordre partout, sauf dans les petits voisinages des limites d'intervalle. Aux frontières, ils poussent plus comme . Ce n'est pas par hasard que les nœuds d'interpolation stables ont tous un regroupement près des frontières. Le regroupement est nécessaire pour contrôler les gradients de la base, tandis que près du point médian, celui-ci peut être un peu plus détendu. 1 / N $N^2$$1/{N^2}$

Il s'avère cependant que ce n'est pas nécessairement un phénomène polynomial, je suggère l'article suivant:

http://math.la.asu.edu/~platte/pub/prevised.pdf

Cela dit vaguement: si vous avez le même pouvoir d'approximation de la base polynomiale, vous ne pouvez pas utiliser des points également espacés de manière stable.

Ce ne sont pas les points également espacés qui posent problème. C'est le support global des fonctions de base avec des points également espacés qui est le problème. Un interpolant parfaitement bien conditionné utilisant des points également espacés est décrit dans l'analyse numérique de Kress, utilisant des fonctions de base spline cubique-b de support compact.

Que se passe-t-il exactement dans le cas de points équidistants?

Pourquoi l'augmentation de l'ordre polynomial fait-elle augmenter l'erreur après un certain point?

Ceci est similaire au phénomène de Runge où, avec des nœuds équidistants, l'erreur d'interpolation va à l'infini avec l'augmentation du degré polynomial, c'est-à-dire le nombre de points.

L'une des racines de ce problème peut être trouvée dans la constante de Lebesgue comme le note le commentaire de @ Subodh à la réponse @Pedro. Cette constante relie l'interpolation à la meilleure approximation.

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Quelques notations

Nous avons une fonction pour interpoler sur les nœuds . Dans l'interpolation de Lagrange sont définis les polynômes de Lagrange :$f \in C([a,b])$$x_k$

$$L_k(x) = \prod_{i=0, i\neq j}^{n}\frac{x-x_i}{x_k-x_i}$$

avec cela est défini le polynôme d'interpolation sur les couples pour la notation légère$p_n \in P_n$$(x_k, f(x_k))$$(x_k, f_k)$

$$p_n(x) = \sum_{k=0}^n f_kL_k(x)$$

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Considérons maintenant une perturbation sur les données, cela peut être par exemple pour l'arrondi, donc nous avons . Avec cela, le nouveau polynôme est:$\tilde{f}_k$$\tilde{p}_n$

$$\tilde{p}_n(x) = \sum_{k=0}^n \tilde{f}_k L_k(x)$$

Les estimations d'erreur sont les suivantes:

$$p_n(x) - \tilde{p}_n(x) = \sum_{k=0}^n (f_k - \tilde{f}_k) L_k(x)$$

$$| p_n(x) - \tilde{p}_n(x) | \leq \sum_{k=0}^n |f_k - \tilde{f}_k| |L_k(x)| \leq \left ( \max_k |f_k - \tilde{f}_k| \right) \sum_{k=0}^n |L_k(x)|$$

Il est désormais possible de définir la constante de Lebesgue comme:$\Lambda_n$

$$\Lambda_n = \max_{x \in [a,b]} \sum_{k=0}^n |L_k(x)|$$

Avec cela, les estimations finales sont:

$$|| p_n - \tilde{p}_n ||_{\infty} \leq \left ( \max_k |f_k - \tilde{f}_k| \right) \Lambda_n$$

(note marginale, nous ne regardons que la norme aussi parce que nous sommes sur un espace de mesure finie donc )$\infty$$L^{\infty} \subseteq \dots \subseteq L^1$

D'après le calcul ci-dessus, nous avons obtenu que est:$\Lambda_n$

• indépendant de la date:
• ne dépend que de la distribution des nœuds;
• un indicateur de stabilité (plus il est petit, mieux c'est).

C'est aussi la norme de l'opérateur d'interpolation respecter le norme.$|| \cdot||_\infty$

Avec le théorème suivant que nous con avons obtenu une estimation de l'erreur d'interpolation avec la constante de Lebesgue:

Soit et comme ci-dessus, nous avons où est l'erreur du meilleur polynôme d'approximation uniforme$f$$p_n$

$$|| f - p_n ||_{\infty} \leq (1 + \Lambda_n) d_n(f)$$ $$d_n(f) = \inf_{q_n \in P_n} || f - q_n ||_{\infty}$$

Autrement dit, si est petit, l'erreur d'interpolation n'est pas loin de l'erreur de la meilleure approximation uniforme et le théorème compare l'erreur d'interpolation avec la plus petite erreur possible qui est l'erreur de la meilleure approximation uniforme.$\Lambda_n$

Pour cela le comportement de l'interpolation dépend de la distribution des nœuds. Il existe des limites inférieures à propos de qui, étant donné une distribution de nœuds, existent une constante telle que: pour que la constante croisse, mais comment importan.$\Lambda_n$$c$

$$\Lambda_n \geq \frac{2}{\pi} \log(n) - c$$

Pour les nœuds équidistants j'ai omis certains détails, mais nous voyons que la croissance est exponentielle.

$$\Lambda_n \approx \frac{2^{n+1}}{en \log(n)}$$

Pour les nœuds Chebyshev également ici, j'ai omis certains détails, il y a une estimation plus précise et compliquée. Voir [1] pour plus de détails. Notez que les nœuds de la famille Chebyshev ont une croissance logarithmique et que les estimations précédentes sont presque les meilleures que vous puissiez obtenir.

$$\Lambda_n \leq \frac{2}{\pi} \log(n) + 4$$

Pour les autres distributions de nœuds, voir par exemple le tableau 1 de cet article .

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Il y a beaucoup de références sur le livre sur l'interpolation. En ligne, ces diapositives sont agréables comme résumé.

Aussi cet article ouvert ([1])

Une comparaison d'interpolation numérique à sept grilles de pour polynôme sur l'intervalle pour diverses comparaisons.

Il est bon de connaître les interpolants Floater-Hormann lorsque vous devez (ou souhaitez) travailler avec des points équidistants .$\{x_i\}_{i=1\ldots n}$

Étant donné l'entier avec , soit l'interpolant polynomial de . Alors l'interpolant FH d'une fonction à a la forme$d$$0 \le d \le n$$p_i$$\{ x_i, \ldots x_{i+d} \}$$f$$\{x_i\}_{i=1\ldots n}$

$$r_n(x) := \frac{\sum_{i=0}^{n-d} \lambda_i(x) \, p_i(x)}{\sum_{i=0}^{n-d} \lambda_i(x)}$$

avec les "fonctions de mélange"

$$\lambda_i(x) = \frac{(-1)^i}{(x-x_i) \ldots (x - x_{i+d})}$$

Quelques propriétés de ces interpolants:

• ce sont des interpolants rationnels barycentriques sans pôles réels ;
• obtenir des ordres d'approximation arbitraires pour , quelle que soit la distribution des points;f ∈ C d + 2 [ a , b ${\cal O}(h^{d+1})$$f \in C^{d+2}[a,b]$
• sont quelque peu similaires aux splines, en ce qu'elles mélangent les interpolants polynomiaux (locaux) avec les agissant comme fonctions de mélange;$p_0, \ldots p_{n-d}$$\lambda$
• ils reproduisent des polynômes de degré au plus (ou si est impair);d + 1 n - $d$$d+1$$n-d$
• peut être écrit sous forme barycentrique (voir la section 4 de l'article de Floater et Hormann).

Caveat emptor : Comme prévu (voir l'article référencé par @ Reid.Atcheson), l'augmentation de dégrade rapidement le conditionnement du processus d'approximation.$d$

Il existe des travaux assez récents réalisés par Klein pour atténuer ce problème. Il a modifié l'approche originale de Floater-Hormann en ajoutant nouvelles valeurs de données correspondant à des points en dehors de l'intervalle d'interpolation d'origine construits à partir d'une extension lisse de dehors de utilisant uniquement les données données . Cet ensemble de données "global" est ensuite interpolé par une nouvelle fonction rationnelle FH et évalué uniquement à l' intérieur de .[ a , b ] f [ a , b ] f 0 , … f n r n + 2 d [ a , b $2 d$ $[a,b]$$f$$[a,b]$$f_0, \ldots f_n$$r_{n+2d}$$[a,b]$

Les détails sont joliment présentés dans l'article de Klein (lié ci-dessous), où il est montré que ces interpolants rationnels étendus ont des constantes de Lebesgue qui croissent logarithmiquement avec et (alors que pour le schéma FH d'origine, ladite croissance est exponentielle en , voir Bos et al. ).d $n$$d$$d$

La bibliothèque Chebfun utilise des interpolants FH lors de la construction à chebfunspartir de données équidistantes, comme expliqué ici .

Les références:

MS Floater et K. Hormann, Interpolation rationnelle barycentrique sans pôles et taux d'approximation élevés, Numerische Mathematik 107 (2007).

G. Klein, An Extension of the Floater – Hormann Family of Barycentric Rational Interpolants, Mathematics of Computation , 82 (2011) - preprint

L. Bos, S. De Marchi, K. Hormann et G. Klein, Sur la constante de Lebesgue d'interpolation rationnelle barycentrique aux nœuds équidistants, Numer. Math. 121 (2012)