Exemples illustratifs de méthodes de différences finies mimétiques

Autant j'essaye de trouver une explication concise sur Internet, je n'arrive pas à saisir le concept d'une différence finie mimétique, ou comment il se rapporte même aux différences finies standard. Il serait vraiment utile de voir quelques exemples simples de la façon dont ils sont mis en œuvre pour les PDE linéaires classiques (hyperbolique, elliptique et parabolique).

Je ne sais pas si c'est la réponse que vous vouliez, mais vu que personne d'autre n'a répondu, je peux mentionner la boîte à outils GPL'd MATLAB Reservoir , qui utilise des solveurs mimétiques pour les équations de pression dans la simulation de réservoir. Vu cette équation, réduit à l'équation de test elliptique typique, Δp=0(Poisson) pour un rapport de perméabilité / viscosité constant, vous pouvez probablement obtenir une certaine compréhension des solveurs MRST. MRST prend en charge les grilles entièrement non structurées en utilisant différentes méthodes mimétiques, où mimétique se réfère ici à une imitation du produit interne requis pour la mise en place d'équations de bilan massique. Vous n'aurez probablement pas besoin de comprendre les simulations de réservoir pour comprendre cela.

Un bon exemple pour commencer est décrit ici . Les exemples inclus utilisent la fonctionnalité de script de bloc de MATLAB, où vous pouvez utiliser shift-enter pour parcourir les étapes et inspecter les données à chaque étape.

Les articles pertinents peuvent être trouvés ici . Le premier article passe par la formulation du produit intérieur mimétique afin que vous puissiez avoir une lecture en continu avec le code. Si vous n'avez pas MATLAB ou si vous n'êtes pas familier avec la langue, cela n'est probablement pas très utile - mais je pense que les exemples simples devraient également être compatibles avec Octave.

Il y a une thèse de maîtrise "Comparaison entre les schémas d'approximation de flux mimétiques et à deux points sur les grilles PEBI" qui passe en revue certains détails, et la section 7.3 en particulier fonctionne à travers un petit exemple à la main.

$\nabla\cdot$$\nabla$$\nabla\times$

La construction d'un calcul discret se déroule en deux étapes. Nous choisissons d'abord une forme discrète pour l'un des opérateurs fondamentaux, appelé opérateur principal . Ensuite, sur la base d'un sous-ensemble d'identités différentielles et intégrales que nous choisissons de maintenir, nous construisons le ou les autres opérateurs fondamentaux, appelés opérateurs dérivés . Le choix de l'opérateur principal dépend de l'application et de la discrétisation. En un sens, l'opérateur principal "supporte" la construction des opérateurs dérivés. Les lois de conservation, les symétries de solutions et les relations adjointes entre opérateurs différentiels sont des exemples de propriétés que nous voulons que les opérateurs discrets imitent.

Par exemple, une discrétisation SOM de l'équation de diffusion linéaire que la discrétisation mimétique imiterait

1. Le théorème de Gauss-Green pour appliquer la loi de conservation locale
2. La relation adjointe négative entre les opérateurs de flux et de divergence, $-\textbf{K}\nabla = (\nabla\,\cdot)^{*}$
3. Symétrie et positivité garanties du produit de la divergence discrète et du flux discret
4. L'espace nul de l'opérateur de flux discret correspond aux fonctions constantes.

Des détails complets sur la discrétisation mimétique de l'équation de diffusion sont disponibles en 1D ou 2D .

Voir la thèse de Jérôme Bonelle qui est disponible sur son site internet ou directement ici . J'ai trouvé ses chapitres 2 à 4 assez faciles à lire et à faire une bonne introduction. Il parle également de deux exemples, un PDE elliptique et les équations de Stokes.