Application des conditions aux limites de Dirichlet à l'équation de Poisson avec la méthode des volumes finis

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Je voudrais savoir comment les conditions de Dirichlet sont normalement appliquées lors de l'utilisation de la méthode des volumes finis sur une grille non uniforme centrée sur les cellules,

Côté gauche de la grille centrée sur la cellule.

Mon implémentation actuelle impose simplement la condition aux limites de ma fixation de la valeur de la première cellule,

ϕ1=gD(xL)

où est la variable solution et est la valeur de la condition aux limites de Dirichlet aux du domaine ( NB ). Cependant, cela est incorrect car la condition aux limites doit fixer la valeur de la face de la cellule et non la valeur de la cellule elle-même. Ce que je devrais vraiment appliquer,g D ( x L ) x Lx 1 / deuxϕgD(xL) xLx1/2

ϕL=gD(xL)

Par exemple, permet de résoudre l'équation de Poisson,

0=(ϕx)x+ρ(x)

avec la condition initiale et les conditions aux limites,

ρ=1gD(xL)=0gN(xR)=0

(où est une condition aux limites de Neumann sur le côté droit).gN(xR)

Solution numérique de l'équation de Poisson

Remarquez comment la solution numérique a fixé la valeur de la variable de cellule à la valeur de condition aux limites ( ) sur le côté gauche. Cela a pour effet de déplacer toute la solution vers le haut. L'effet peut être minimisé en utilisant un grand nombre de points de maillage mais ce n'est pas une bonne solution au problème.gD(xL)=0

Question

De quelles manières les conditions aux limites de Dirichlet sont-elles appliquées lors de l'utilisation de la méthode des volumes finis? Je suppose que je dois fixer la valeur de en interpolant ou en extrapolant en utilisant (un point fantôme) ou telle sorte que la ligne droite passant par ces points ait la valeur souhaitée à . Pouvez-vous fournir des conseils ou un exemple sur la façon de procéder pour un maillage non uniforme centré sur les cellules?ϕ 0 ϕ 2 x Lϕ1ϕ0ϕ2xL


Mise à jour

Voici ma tentative d'utiliser une approche de cellule fantôme que vous avez suggérée, cela semble-t-il raisonnable?

L'équation pour la cellule est (où F représente le flux de ϕ ),Ω1Fϕ

F3/2-FL=ρ¯

Nous devons écrire en termes de condition aux limites en utilisant une cellule fantôme Ω 0 ,FLΩ0

FL=ϕ1-ϕ0h-[1]

Mais nous devons finalement éliminer le terme de l'équation. Pour ce faire, nous écrivons une deuxième équation qui est l'interpolation linéaire du centre de la cellule au centre de la cellule . Idéalement, cette ligne passe par , c'est ainsi que les conditions de Dirichlet entrent dans la discrétisation (car la valeur à ce stade est juste )Ω 0 Ω 1 x L g D ( x L )ϕ0Ω0Ω1XLg(XL)

g(XL)=h12h-ϕ0+h02h-ϕ1[2]

En combinant les équations 1 et 2, nous pouvons éliminer et trouver une expression pour en termes de et ,F L ϕ 1 g D ( x L )ϕ0FLϕ1g(XL)

FL=1h-(ϕ1-1h1(2gh--h1ϕ1))

En supposant que nous sommes libres de choisir le volume de la cellule fantôme, nous pouvons définir pour donner,h0h1

FL=-2gh1+2ϕ1h-

Cela peut être simplifié davantage parce que si les cellules et sont du même volume, nous pouvons alors définir donnant finalement,Ω 1 h -h 1Ω0Ω1h-h1

FL=2h1(ϕ1-g)

Cependant, cette approche a récupéré la définition qui est instable donc je ne sais pas trop comment procéder? Ai-je mal interprété vos conseils (@Jan)? La chose étrange est que cela semble fonctionner, voir ci-dessous,

Voir ci-dessous, cela fonctionne,

Calcul mis à jour, nouvelle approche en très bon accord avec l'approche analytique.

boyfarrell
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À droite, votre dérivation est correcte. Et cela ressemble vraiment à ce que j'ai appelé (**) dans ma réponse. Et, ainsi, il s'est avéré stable. J'ajouterai un commentaire dans ma réponse.
Jan
De plus, comme remarque générale, les résultats de stabilité sont généralement des conditions suffisantes. Autrement dit, si un schéma ne remplit pas les conditions, dans certaines situations, il peut très bien produire des résultats fiables.
Jan

Réponses:

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Dans l'analyse de stabilité des discrétisations FVM pour les problèmes elliptiques avec Dirichlet BC, une hypothèse centrale est que les cellules internes , où vous énoncez la PDE, n'ont aucune intersection avec la frontière, c'est-à-dire si vu comme un ensemble dans si votre domaine , cf. par exemple le livre de [ Grossmann & Roos , p. 92]

Ω¯jeΓ=0()
Rn-1ΩRn

Ainsi, si dans votre configuration, l'approche est instable, ce n'est pas en contradiction avec les résultats de stabilité connus. EDIT : En utilisant une cellule fantôme et une interpolation linéaire, pour un choix particulier de volume et de distance, on obtient comme flux. Ainsi, est en effet un schéma stable.

(ϕX)1/2=2h1(ϕ1-ϕ1/2)()
()()

La stabilité et la convergence (de premier ordre dans la norme max discrète) pour le problème du poisson ont été prouvées par Grossmann & Roos pour les grilles, avec des cellules de frontière distinctes avec leurs "centres" sur la frontière réelle comme illustré dans mon dessin pour un cas 1D. entrez la description de l'image ici

Ici, le quotient différentiel sur l'interface est approximé de manière directe.

Je dirais que les cellules fantômes sont l'approche courante, pour deux raisons.

  • Ils imitent la situation stable décrite dans mon dessin mais avec une condition aux limites interpolée
  • Ils sont simplement attachés à la frontière physique. Ainsi, on peut utiliser une triangulation du domaine, ce qui est également avantageux, car on a souvent aussi des BC naturels qui sont directement imposés à l'interface [ Grossmann & Roos , p. 101].

Donc, je vous suggère d'utiliser des cellules fantômes pour la frontière de Dirichlet. Dans votre exemple, cela ajoutera à votre système et la condition qu'un interpolant entre , et peut-être d'autres soit à à la frontière.ϕ0ϕ0ϕ1g

Jan
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Merci Jan, c'est vraiment intéressant. Cela imiterait certainement mon expérience avec certaines approches instables. Ai-je raison, si j'utilise une approche de cellule fantôme, je n'ai pas besoin de déplacer la dernière cellule pour que le centre soit sur la frontière? J'ai également un problème avec le concept de décalage de la cellule limite; cela ne signifie-t-il pas que cette cellule a un volume nul?
boyfarrell
Oui, si vous introduisez une cellule fantôme, vous n'avez pas besoin de changer la grille de votre exemple d'image. Concernant le décalage que vous avez mentionné pour établir la situation de mon dessin. Non, ce n'est pas une cellule dégénérée! Le décalage entre vraiment dans les équations dans la mesure où cette bande n'apparaît pas dans les intégrales, prises par exemple du côté droit. hΓ
Jan
hΓ0ϕ1ϕ0
La dépendance à la valeur de la cellule fantôme peut-elle être supprimée avec cette approche? Je suppose que cela ne doit pas être inclus dans les équations, mais seulement utilisé un outil pour écrire les conditions aux limites. Concernant la cellule limite "décalée". Il semble que ce point utilise la différence finie plutôt que la méthode du volume fini. Serait-ce exact?
boyfarrell
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OK, je comprends! Je vous remercie. Il y a une faute de frappe. dans le 2ème paragraphe "Ainsi, si dans votre configuration, l'approche [eqn] est instable, cela n'est pas en contradiction avec les résultats de stabilité connus." Le "non" doit être "en" . Cela inverse le sens de la phrase pour signifier le contraire de ce que vous voulez (je pense)!
boyfarrell
3

ϕ1-ϕ2-ϕ1X2-X1(X1-X0)=0X0Xjeϕjeϕ1ϕ2ϕ1

Ce que vous trouvez ici, c'est pourquoi les volumes finis ne sont pas fréquemment utilisés pour les équations elliptiques pour lesquelles on pose des conditions de Dirichlet. Ils sont utilisés pour les lois de conservation où les conditions plus naturelles sont exprimées en termes de flux.

Wolfgang Bangerth
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2ϕX2=F
(ϕX)3/2-(ϕX)1/2=X1/2X3/2FX
(ϕX)3/2=ϕ2-ϕ1h+

(ϕ/X)1/2ϕ1/2X1/2X1X2h

(ϕX)1/2=1h(-13ϕ2+3ϕ1-83ϕ1/2)
(ϕX)1/2=2h1(ϕ1-ϕ1/2)

Bien sûr, une chose qui doit également être vérifiée est la stabilité de votre discrétisation avec l'approximation du second ordre à la frontière. Du haut de ma tête, je ne sais pas si elle sera stable combinée à une approximation du deuxième ordre centrée à l'intérieur. Une analyse de stabilité de la matrice vous le dira certainement. (Je suis pratiquement certain que l'approximation du premier ordre à la frontière sera stable.)

Vous mentionnez la possibilité d'utiliser des points fantômes. Cela conduit au problème que vous devez extrapoler de l'intérieur vers le point fantôme et utiliser le bc dans le processus. Je soupçonne, mais je ne l'ai pas "prouvé", qu'au moins certains traitements des points fantômes équivalent à utiliser le type d'approche que j'ai décrit ci-dessus.

J'espère que cela aide un peu.

Brian Zatapatique
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Bonjour Brian. Je ne pensais pas qu'il était possible d'appliquer les conditions aux limites de Dirichlet en utilisant la forme du flux (c'est-à-dire faiblement). En fait, j'ai posé cette question il y a quelques mois, scicomp.stackexchange.com/questions/7777/… J'ai essayé d'implémenter quelque chose comme ça à l'époque mais, pour une raison quelconque, l'implémentation était instable et échouait toujours. Connaissez-vous une référence dans laquelle les conditions de Dirichlet sont appliquées à l'équation de Poisson, je suis intéressé de savoir ce qui est standard ? Peut-être que cela n'est pas fait pour les équations elliptiques?
boyfarrell
Je ne connais pas de norme, mais je ne peux pas imaginer que toutes ces implémentations soient instables. Avez-vous essayé l'analyse matricielle? Il doit être très simple à réaliser dans ce cas. Les gens résolvent les équations de Navier-Stokes avec des traitements au point fantôme et des traitements comme celui ci-dessus. (Bien sûr, les effets visqueux ne dominent pas à un point tel que vous pouvez considérer l'équation de Poisson comme un bon modèle.) Ces références peuvent peut-être aider: ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/ … Et nas.nasa.gov/assets/pdf/techreports/1997/nas-97-011.pdf
Brian Zatapatique
Bonjour Brian. Non, je n'ai pas essayé l'analyse matricielle. Pour être honnête, je ne sais pas trop comment faire ça. J'aurai le temps la semaine prochaine de revisiter ce problème donc je pourrai poster une nouvelle question alors!
boyfarrell
Ma compréhension est également que l'extrapolation de point fantôme (quadratique) finit par être équivalente à la discrétisation classique par différence finie de Shortley-Weller pour les conditions aux limites de Dirichlet irrégulières (courbes), par exemple, comme décrit à la p74 de Morton et Meyers Solution numérique des équations différentielles partielles (2e édition). (La version d'extrapolation linéaire est équivalente à la méthode plus simple de Gibou et al. Sciencedirect.com/science/article/pii/S0021999101969773 ) Aussi: les extrapolants linéaires et quadratiques donnent des solutions précises du 2e ordre, mais linéaires uniquement des gradients du 1er ordre.
batty