Utiliser l'itération à virgule fixe pour découpler un système de pde

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Supposons que j'ai eu un problème de valeur limite:

du

d2udx2+dvdx=f in Ω
u=h en Ω
dudx+d2vdx2=g in Ω
u=h in Ω

Mon objectif est de décomposer la solution de ce problème couplé en une séquence de PDE non couplés. Pour découpler le système, j'applique une itération à point fixe sur une séquence d'approximations telle que(uk,vk)

du k - 1

d2ukdx2+dvk1dx=f
duk1dx+d2vkdx2=g

Théoriquement, cela me permettrait de résoudre les deux équations comme un PDE purement elliptique. Cependant, je n'ai jamais vu d'itérations à virgule fixe appliquées aux PDE de cette manière. J'ai vu des itérations à virgule fixe appliquées aux équations discrétisées numériquement (méthode des différences finies, méthode des éléments finis, etc.), mais jamais directement aux équations continues.

Suis-je en train de violer un principe mathématique flagrant? Est-ce mathématiquement valable? Puis-je résoudre l'EDP couplé en tant que séquence d'EDP non couplés en utilisant l'itération à virgule fixe appliquée au problème de variable CONTINUE, plutôt que le problème de variable DISCRETE?

À ce stade, je ne me préoccupe pas vraiment de savoir s'il est pratique d'utiliser cette méthode, mais plutôt si elle est théoriquement plausible. Tous commentaires serait grandement apprécié!

Paul
la source
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Dans la littérature sur l'EDP hyperbolique, les méthodes de fractionnement des étapes fractionnaires et des opérateurs font en quelque sorte ce que vous décrivez ci-dessus.
Geoff Oxberry
(uk,vk)(uk,pk)
@BillBarth: Oui! Je viens de le corriger.
Paul
@GeoffOxberry: Je trouve que le fractionnement des opérateurs est de caractère très différent.
anonyme
@Paul: Je peux penser à au moins un autre problème où les "PDE couplés" sont résolus par une itération à point fixe (et pas seulement formulée comme des problèmes à point fixe): la décomposition de domaine, voir par exemple la méthode Neumann – Dirichlet. (la différence ici étant que vous avez deux PDE mais qu'ils vivent sur des domaines différents et que le couplage se fait uniquement via une interface).
anonyme

Réponses:

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C(Ω)×C(Ω)

d2ukdx2+dvk1dx=fd2vkdx2+duk1dx=g
(plus les conditions aux limites).

Il est clair que si cette séquence converge, ce sera une solution de votre ensemble original de PDE.

xkxk+1u0v0

(ukvk)(u^kv^k)q(uk1vk1)(u^k1v^k1)
|q|<1(uk1,vk1)(u^k1,v^k1)

Cette logique fonctionne à la fois dans l'espace continu et dans l'espace discret.

Nico Schlömer
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Ne devrait pas ? |q|<1
Paul