Comment construire un volume fini bien équilibré et des méthodes de Galerkin discontinues pour des PDE hyperboliques avec des termes sources?

Les termes sources, tels que ceux dus à la bathymétrie dans les équations des eaux peu profondes, doivent être intégrés de manière spéciale afin de préserver les états physiques stables. Existe-t-il un moyen général de construire des méthodes bien équilibrées ou nécessite-t-il des techniques spéciales pour chaque équation?

La réponse courte est: cela nécessite un travail spécifique pour différentes équations, mais il existe certaines techniques générales qui suggèrent comment le faire. Essentiellement, étant donné une PDE d'évolution de premier ordre

$A,B$

$A$$B$$A$$B$

Une approche que j'aime est l'utilisation de solveurs Riemann à ondes f comme proposé par Bale et. Al. . L'idée est de discrétiser les termes convectifs avec une méthode de type Godunov, mais de soustraire la contribution des autres termes à l' intérieur du solveur de Riemann. Dans le cas de l'état stationnaire, aucune onde n'est générée. Cependant, cela nécessite que les termes convectifs et sources soient calculés exactement (afin d'annuler exactement). C'est possible pour les équations en eau peu profonde, mais plus difficile pour de nombreux autres systèmes.