PDE dans de nombreuses dimensions

Je sais que la plupart des méthodes pour trouver des solutions approximatives aux PDE évoluent mal avec le nombre de dimensions, et que Monte Carlo est utilisé pour des situations qui demandent environ 100 dimensions.

Quelles sont les bonnes méthodes pour résoudre efficacement les EDP numériquement en ~ 4-10 dimensions? 10-100?

Existe-t-il des méthodes autres que Monte-Carlo qui s'adaptent bien au nombre de dimensions?

pde monte-carlo high-dimensional Dan
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Cela pourrait aider à fournir un peu plus d'informations sur le type de problème que vous résolvez. La plupart des PDE manipulés en science informatique ont tendance à être tout au plus à quatre dimensions (temps plus trois dimensions spatiales). Les variables sont-elles des variables spatiales ou temporelles, ou y a-t-il d'autres dépendances que vous incluez?

aeismail

Variables spatiales. En mécanique quantique , si vous ne voulez pas faire les approximations que vous utilisez dans DFT ou Hartree-Fock, la fonction d' onde est

dimensions, où

est le nombre d'électrons. Ainsi, même les petits atomes et molécules nécessitent un grand nombre de dimensions pour être manipulés correctement.

3 n

$3n$

n

$n$

Dan

Cela dépend beaucoup des informations que vous souhaitez connaître sur la solution. On ne veut guère connaître tous les détails d'une fonction d'onde à

électrons. Il faut donc adapter la technique de calcul à l'information réellement souhaitée.

n

$n$

Arnold Neumaier

Veuillez citer une référence pour la solution Monte Carlo d'une équation électronique de Schroedinger en 100 dimensions.

Arnold Neumaier du

Je n'ai pas de référence. Je n'ai entendu parler que de simulations dans ces nombreuses dimensions utilisées pour la QCD. Je ne cherche qu'à faire une simulation Schroedinger en 4-5 dimensions, mais je me demandais si autre chose que Monte Carlo était bien adapté au nombre de dimensions, et 100 semblait être un joli grand chiffre rond pour obtenir la mise à l'échelle asymptotique.

Dan

Réponses:

Une façon plus structurée de fournir une base ou une quadrature (qui peut remplacer MC dans de nombreux cas) en plusieurs dimensions est celle des grilles clairsemées , qui combine une famille de règles unidimensionnelles d'ordre variable de manière à avoir une croissance simplement exponentielle dans dimension, , plutôt que d'avoir cette dimension est un exposant de la résolution . $2^d$ $N^d$

Cela se fait par ce que l'on appelle une quadrature de Smolyak, qui combine une série de règles unidimensionnelles comme $Q^1_l$

$Q^d_n = \displaystyle\sum^{n}_{l}(Q^{1}_i - Q^{1}_{i-1})\otimes Q^{d-1}_{m-i+1}$

Cela équivaut à l'espace de quadrature du produit tensoriel avec les ordres mixtes élevés supprimés de l'espace. Si cela est fait d'une manière suffisamment sévère, la complexité peut être considérablement améliorée. Cependant, pour que l'on puisse le faire et maintenir une bonne approximation, la régularité de la solution doit avoir des dérivés mixtes suffisamment disparus.

Des grilles clairsemées ont été battues à mort par le groupe Griebel pour des choses comme l' équation de Schrödinger dans l'espace de configuration et d' autres choses de grande dimension avec de très bons résultats. Dans l'application, les fonctions de base utilisées peuvent être assez générales, tant que vous pouvez les imbriquer. Par exemple, les ondes planes ou les bases hiérarchiques sont courantes.

Il est également assez simple de vous coder. D'après mon expérience, il est cependant très difficile de le faire fonctionner pour ces problèmes. Un bon tutoriel existe.

Pour les problèmes dont les solutions vivent dans des espaces Sobolev spécialisés comportant des dérivés qui meurent rapidement, l'approche en grille clairsemée peut potentiellement donner des résultats encore plus importants .

Voir également le document de synthèse Acta Numerica, Discrétisation par tenseur épars des PDE paramétriques et stochastiques de grande dimension .

Peter Brune
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Existe-t-il des exemples bien connus où les grilles clairsemées ne sont pas applicables?

MRocklin

Vous avez vraiment besoin de la régularité pour tenir. De plus, si vous avez de mauvaises cuspides de haute dimension (comme dans QM), vous devez être prudent. J'ai entendu des histoires au sujet de la clique Grille Sparse commencent à céder (avec preuves même) qu'il n'y a pas que beaucoup mieux que Monte-Carlo, mais ne peut pas trouver une bonne référence.

Peter Brune

Eh bien, l'article sur la grille clairsemée pour schroedinger que vous avez mentionné ne traite que 2 électrons. Combien d'électrons sont réellement traçables par la méthode?

Arnold Neumaier

En règle générale, il est facile de comprendre pourquoi les grilles régulières ne peuvent pas aller bien au-delà des problèmes en 3 ou 4 dimensions: en dimensions d, si vous voulez avoir un minimum de N points par direction de coordonnées, vous obtiendrez N ^ d points dans l'ensemble. Même pour des fonctions relativement agréables en 1d, vous avez besoin d'au moins N = 10 points de grille pour les résoudre, donc le nombre total de points sera de 10 ^ d - c'est-à-dire que même sur les plus gros ordinateurs, vous ne dépasserez probablement pas d = 9, et n'ira probablement pas beaucoup plus loin que jamais . Des grilles clairsemées peuvent aider dans certaines circonstances si la fonction de solution a certaines propriétés, mais en général, vous devrez vivre avec les conséquences de la malédiction de la dimensionnalité et opter pour les méthodes MCMC.

Wolfgang Bangerth
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Que signifie MCMC?

Dan

Chaîne Markov Monte Carlo: en.wikipedia.org/wiki/Markov_chain_Monte_Carlo

Jack Poulson

$d=4,...,100$ $d=100,101,...\infty$

Paul
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O (\sqrt{N})

$O(\sqrt{N})$

10^{7}

$10^7$

C^{k, α}

$C^{k,\alpha}$