Polynômes orthogonaux sur des courbes dans le plan complexe

Divers ensembles importants de polynômes (Legendre, Chebyshev, etc.) sont orthogonaux sur un certain intervalle réel avec une certaine pondération. Existe-t-il des familles connues de polynômes orthogonaux par rapport à d'autres courbes dans le plan complexe?

Par exemple, je voudrais une base pour les polynômes de degré n qui sont orthogonaux sur, disons, le cercle

- 1 + \exp (je t)

$-1 + \exp(it)$

pour . $0\le t< 2\pi$

La raison pour laquelle je poste ceci ici est que j'ai un problème numérique impliquant une matrice de valeurs polynomiales sur des points dans le plan complexe. En utilisant la base monomiale, elle devient très mal conditionnée pour la plupart des ensembles de points. J'aimerais utiliser une autre base pour améliorer le conditionnement, mais il n'est pas clair que l'utilisation, par exemple, des polynômes de Legendre ou de Chebyshev améliorera le conditionnement des courbes générales dans le plan complexe.

basis-set special-functions David Ketcheson
la source

Je pense que votre montage a rendu presque toute ma réponse non pertinente :-P C'est une meilleure question maintenant, cependant.

David Z

Je soupçonne qu'il existe une modification appropriée de l'algorithme de Chebyshev pour générer des coefficients de récursivité. J'ai fait référence à Szegő dans votre question math.SE.

Merci! Oui, cette question a été très bien répondu sur math.SE, qui est probablement où j'aurais dû demander en premier.

David Ketcheson

Polynômes orthogonaux sur des courbes dans le plan complexe

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