Bassin d'attraction pour la méthode de Newton

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On sait que la méthode de Newton pour résoudre des équations non linéaires converge quadratique lorsque la supposition de départ est "suffisamment proche" de la solution.

Qu'est-ce qui est "suffisamment proche"?

Existe-t-il de la littérature sur la structure de ce bassin d'attraction?

iterative-method convergence nonlinear-equations David Ketcheson
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La racine doit être isolée (et non multiple). Si la Hesse est uniformément définie (concave vers le haut ou vers le bas) dans la région, vous devriez être prêt à partir. Bien sûr, garantir ou tester empiriquement ces conditions n'est généralement pas pratique.

hardmath

J'ai vu la question dans NA-Digest l'autre jour et l'ai trouvée intrigante. Apparemment, je n'étais pas le seul :-)

Wolfgang Bangerth

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Pour une seule équation rationnelle dans le domaine complexe, le bassin d'attraction est fractal, le complément d'un ensemble dit de Julia. http://en.wikipedia.org/wiki/Julia_set . Pour la théorie avec quelques belles figures en ligne, voir, par exemple,
http://mathlab.mathlab.sunysb.edu/~scott/Papers/Newton/Published.pdf
http://hera.ugr.es/doi/15019160.pdf

$x^3-1=0$

Il est donc inutile de préciser en détail ce qui est "suffisamment proche" de la solution. Si l'on connaît des bornes sur les dérivées secondes, il y a le théorème de Newton - Kantorovich qui donne des bornes inférieures sur le rayon d'une boule dans laquelle la méthode de Newton converge, mais sauf en 1D, celles-ci ont tendance à être assez pessimistes.

Des bornes utiles au calcul peuvent être obtenues en utilisant l'arithmétique d'intervalle; voir, par exemple, mon article
Shen Zuhe et A. Neumaier, L'opérateur de Krawczyk et le théorème de Kantorovich, J. Math. Anal. Appl. 149 (1990), 437 à 443.
http://www.mat.univie.ac.at/~neum/scan/61.pdf

Arnold Neumaier
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x^{3} - 1 = 0

$x^3 - 1 = 0$

x > 0

$x > 0$

x > 1

$x > 1$

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@hardmath: oui, mais l'équation complexe devient deux équations réelles en 2 variables, pour lesquelles la même chose s'applique.

Arnold Neumaier

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"Suffisamment proche" est difficile à caractériser étant donné qu'il donne naissance à une classe de fractales . Les méthodes de Newton avec des stratégies de mondialisation telles que la recherche de ligne et la région de confiance étendent le bassin d'attraction. Si une structure de problème supplémentaire est disponible, comme dans l'optimisation, les hypothèses nécessaires à la convergence peuvent être encore affaiblies.

Jed Brown
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Juste pour la curiosité, avez-vous un exemple pour "Si une structure de problème supplémentaire est disponible, comme dans l'optimisation, les hypothèses nécessaires à la convergence peuvent être encore affaiblies."?

vanCompute

@vanCompute Voir cet exemple pour un exemple lié à l'optimisation, où l'objet fonctionnel fournit des informations qui sont perdues dans les conditions d'optimalité de premier ordre. Une autre forme serait la connaissance qu'une certaine continuation (pseudotransitoire, paramètre, grille, etc.) converge toujours, mais le résidu peut devoir augmenter avant d'atteindre la solution si l'on essaie de résoudre directement le problème.

Jed Brown

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Il existe des résultats utiles pour la méthode de Newton appliquée aux polynômes complexes.

$f$

r = \frac{η}{2 d}

$r=\frac{\eta}{2d}$

η

$\eta$

f

$f$

d

$d$

f

$f$

D'autres limites explicites sont données par Anthony Manning dans Comment être sûr de trouver une racine d'un polynôme complexe en utilisant la méthode de Newton (Théorème 1.2).

Voir aussi Comment trouver toutes les racines de polynômes complexes par la méthode de Newton par Hubbard et al.
Inventer. Math. 146 (2001), no. 1, 1–33. pdf

lhf
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Adapté de math.stackexchange.com/a/1038487/589 .

lhf

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